Câu hỏi
Cho biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{x + 4\sqrt x + 4}}:\left( {\frac{x}{{x + 2\sqrt x }} + \frac{x}{{\sqrt x + 2}}} \right),\) với \(x > 0\)
Câu 1: Rút gọn biểu thức \(A.\)
- A \(A = \frac{{\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\)
- B \(A = \frac{1}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\)
- C \(A = \frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\)
- D \(A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}.\)
Phương pháp giải:
Phân tích mẫu thành nhân tử sau đó quy đồng các mẫu thức rồi rút gọn.
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{x + 4\sqrt x + 4}}:\left( {\frac{x}{{x + 2\sqrt x }} + \frac{x}{{\sqrt x + 2}}} \right)\\ = \frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}}}:\left( {\frac{x}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \frac{x}{{\sqrt x + 2}}} \right)\\ = \frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}}}:\left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \frac{x}{{\sqrt x + 2}}} \right)\\ = \frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}}}.\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\ = \frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}\end{array}\)
Vậy với \(x > 0\) thì \(A = \frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\)
Chọn C.
Câu 2: Tìm tất cả các giá trị của \(x\) để \(A \ge \frac{1}{{3\sqrt x }}.\)
- A \(0 < x < 1\)
- B \(x > 1\)
- C \(x \ge 1\)
- D \(0 < x \le 1\)
Phương pháp giải:
Cho \(A \ge \frac{1}{{3\sqrt x }}\) sau đó tìm \(x\) và đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}A \ge \frac{1}{{3\sqrt x }} \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}} \ge \frac{1}{{3\sqrt x }}\\ \Leftrightarrow \frac{{3 - \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}} \ge 0\\ \Leftrightarrow \frac{{1 - \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}} \ge 0\end{array}\)
Với \(x > 0\) ta có: \(\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right) > 0\) khi đó \(\frac{{1 - \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}} \ge 0 \Leftrightarrow 1 - \sqrt x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 1\)
Kết hợp với điều kiện ta được: \(0 < x \le 1\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn D.