Câu hỏi
Cho biểu thức \(A = \frac{1}{y} + \frac{2}{{y + 1}} - \frac{1}{{{y^2} + y}}.\)
Câu 1: Tìm điều kiện xác định và rút họn biểu thức \(A.\)
- A ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}y \ne 0\\y \ne - 1\end{array} \right.\,\,\,;\,\,\,\,A = \frac{3}{{y + 1}}\)
- B ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}y \ne 0\\y \ne - 1\end{array} \right.\,\,\,;\,\,\,\,A = \frac{{3y}}{{y + 1}}\)
- C ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}y \ne 0\\y \ne - 1\end{array} \right.\,\,\,;\,\,\,\,A = \frac{2}{{y + 1}}\)
- D ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}y \ne 0\\y \ne - 1\end{array} \right.\,\,\,;\,\,\,\,A = \frac{{2y}}{{y + 1}}\)
Phương pháp giải:
Biểu thức \(\frac{1}{{f\left( y \right)}}\) có nghĩa \( \Leftrightarrow f\left( y \right) \ne 0.\)
+) Quy đồng mẫu các phân thức rồi rút gọn biểu thức.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}y \ne 0\\y + 1 \ne 0\\{y^2} + y \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \ne 0\\y \ne - 1\end{array} \right..\)
\(\begin{array}{l}A = \frac{1}{y} + \frac{2}{{y + 1}} - \frac{1}{{{y^2} + y}} = \frac{1}{y} + \frac{2}{{y + 1}} - \frac{1}{{y\left( {y + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{y + 1 + 2y - 1}}{{y\left( {y + 1} \right)}} = \frac{{3y}}{{y\left( {y + 1} \right)}} = \frac{3}{{y + 1}}.\end{array}\)
Chọn A.
Câu 2: Tìm giá trị nguyên của \(y\) để \(A\) nhận giá trị nguyên.
- A \(y \in \left\{ { - 4; - 2;\,\,0;\,\,2} \right\}\)
- B \(y \in \left\{ { - 2;2;\,\,4} \right\}\)
- C \(y \in \left\{ { - 4; - 2;\,\,2} \right\}\)
- D \(y \in \left\{ { - 3;\,\,1;\,\,3} \right\}\)
Phương pháp giải:
Biểu thức \(A\) nguyên \( \Leftrightarrow \) tử số chia hết cho mẫu số hay mẫu số là ước của tử số.
+) Lập bảng giá trị hoặc giải phương trình Mẫu số = ước của Tử số để tìm \(y \in \mathbb{Z}\), đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \(y \ne 0;\,\,y \ne - 1.\)
Ta có: \(y \in \mathbb{Z} \Rightarrow A = \frac{3}{{y + 1}} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow 3\,\, \vdots \,\,\,\left( {y + 1} \right)\)
Hay \(\left( {y + 1} \right) \in U\left( 3 \right) \Rightarrow \left( {y + 1} \right) \in \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 3} \right\}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y + 1 = - 3\\y + 1 = - 1\\y + 1 = 1\\y + 1 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = - 4\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\y = - 2\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\y = 0\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\y = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
Vậy với \(y \in \left\{ { - 4; - 2;\,\,2} \right\}\) thì \(A\) nhận giá trị nguyên.
Chọn C.