Phương pháp giải:

+) Tìm ĐKXĐ của biểu thức.

+) Quy đồng mẫu các phân thức sau đó rút gọn và giải phương trình tìm \(a.\)

+) Đối chiếu với điều kiện xác định rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\a \ne 1\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\frac{{{{\left( {\sqrt a  + 1} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt a  - 1} \right)}^2}}}{{4\sqrt a \left( {\sqrt a  - 1} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt {2a + 1}  + \sqrt {a + 1} } \right)\left( {\sqrt {2a + 1}  - \sqrt {a + 1} } \right)}}{{a\left( {\sqrt a  + 1} \right)}} = 1\\ \Leftrightarrow \frac{{a + 2\sqrt a  + 1 - a + 2\sqrt a  - 1}}{{4\sqrt a \left( {\sqrt a  - 1} \right)}} - \frac{{2a + 1 - a - 1}}{{a\left( {\sqrt a  + 1} \right)}} = 1\\ \Leftrightarrow \frac{{4\sqrt a }}{{4\sqrt a \left( {\sqrt a  - 1} \right)}} - \frac{a}{{a\left( {\sqrt a  + 1} \right)}} = 1\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt a  - 1}} - \frac{1}{{\sqrt a  + 1}} = 1\\ \Leftrightarrow \sqrt a  + 1 - \sqrt a  + 1 = a - 1\\ \Leftrightarrow a = 3\,\,\,\left( {tm} \right).\end{array}\)

Vậy \(a = 3\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.