Phương pháp giải:

Quy đồng mẫu các phân thức sau đó biến đổi và rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(a > 0,\,\,\,a \ne 1.\)

\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{\sqrt a  + 1}}{{\sqrt a  - 1}} - \frac{{\sqrt a  - 1}}{{\sqrt a  + 1}} + 4\sqrt a } \right):\left( {\frac{{{a^2} + a\sqrt a }}{{\sqrt a  + 1}}} \right)\\ = \frac{{{{\left( {\sqrt a  + 1} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt a  - 1} \right)}^2} + 4\sqrt a \left( {a - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a  + 1} \right)\left( {\sqrt a  - 1} \right)}}:\frac{{a\sqrt a \left( {\sqrt a  + 1} \right)}}{{\sqrt a  + 1}}\\ = \frac{{a + 2\sqrt a  + 1 - a + 2\sqrt a  - 1 + 4\sqrt a \left( {a - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a  + 1} \right)\left( {\sqrt a  - 1} \right)}}.\frac{1}{{a\sqrt a }}\\ = \frac{{4\sqrt a  + 4\sqrt a \left( {a - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a  + 1} \right)\left( {\sqrt a  - 1} \right)}}.\frac{1}{{a\sqrt a }}\\ = \frac{{4\sqrt a \left( {1 + a - 1} \right)}}{{a - 1}}.\frac{1}{{a\sqrt a }} = \frac{4}{{a - 1}}.\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Biến đổi biểu thức \(P = b + \frac{c}{{MS}}\)

+) Khi đó \(P \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \frac{c}{{MS}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow MS \in U\left( c \right).\) Từ đó tìm \(a \in \mathbb{Z}\)

+) Đối chiếu với điều kiện của \(a\) rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(a > 0,\,\,\,a \ne 1.\)

Ta có: \(P = \frac{4}{{a - 1}} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right) \in U\left( 4 \right)\)

Mà \(U\left( 4 \right) = \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 2;\, \pm 4} \right\} \Rightarrow \left( {a - 1} \right) \in \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 2;\,\, \pm 4} \right\}\)

Ta có bảng:

Vậy với \(a \in \left\{ {2;\,\,3;\,\,5} \right\}\) thì \(P \in \mathbb{Z}.\)

Chọn D.