Cách tính tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm - Toán 11

Giả sử mẫu số liệu được cho dưới dạng bảng tần số ghép nhóm:

+ Để tính tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa \({Q_1}\), giả sử đó là nhóm thứ p: \(\left[ {{a_p};{a_{p + 1}}} \right)\). Khi đó

\({Q_1} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{4} - \left( {{m_1} + ... + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}}.\left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)\),

trong đó n là cỡ mẫu, \({m_p}\) là tần số nhóm p, với p = 1 ta quy ước \({m_1} + ... + {m_{p - 1}} = 0\).

+ Để tính tứ phân vị thứ hai \({Q_2}\) (trung vị) của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa \({Q_2}\), giả sử đó là nhóm thứ p: \(\left[ {{a_p};{a_{p + 1}}} \right)\). Khi đó

\({Q_2} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{2} - \left( {{m_1} + ... + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}}.\left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)\),

trong đó n là cỡ mẫu, \({m_p}\) là tần số nhóm p, với p = 1 ta quy ước \({m_1} + ... + {m_{p - 1}} = 0\).

+ Để tính tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa \({Q_3}\), giả sử đó là nhóm thứ p: \(\left[ {{a_p};{a_{p + 1}}} \right)\). Khi đó

\({Q_3} = {a_p} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - \left( {{m_1} + ... + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}}.\left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)\),

trong đó n là cỡ mẫu, \({m_p}\) là tần số nhóm p, với p = 1 ta quy ước \({m_1} + ... + {m_{p - 1}} = 0\).

Như ta đã biết, đối với mẫu số liệu không ghép nhóm đã sắp xếp theo thứ tự nhỏ đến lớn, các điểm \({Q_1}\), \({Q_2}\), \({Q_3}\)​ chia mẫu số liệu đó thành bốn phần, mỗi phần đều chứa 25% giá trị.

Bằng cách ghép nhóm mẫu số liệu và tính toán tử phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta nhận được ba giá trị mỗi cũng có thể dùng để đại diện cho mẫu số liệu đã cho.

Tìm tứ phân vị thứ nhất và tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm thời gian truy cập Internet mỗi tối của một số học sinh:

Giải:

Cỡ mẫu: n = 3 + 12 + 15 + 24 + 2 = 56.

Tứ phân vị thứ nhất là \({Q_1}\) là \(\frac{{{x_{14}} + {x_{15}}}}{2}\). Do \({x_{14}}\), \({x_{15}}\) đều thuộc nhóm [12,5; 15,5) nên nhóm này chứa \({Q_1}\). Do đó p = 2; \({a_2} = 12,5\); \({m_2} = 12\); \({m_1} = 3\); \({a_3} - {a_2} = 3\) và ta có:

\({Q_1} = 12,5 + \frac{{\frac{{56}}{4} - 3}}{{12}}.3 = 15,25\).

Tứ phân vị thứ ba là \({Q_3}\) là \(\frac{{{x_{42}} + {x_{43}}}}{2}\). Do \({x_{42}}\), \({x_{43}}\) đều thuộc nhóm [18,5; 21,5) nên nhóm này chứa \({Q_3}\). Do đó p = 4; \({a_4} = 18,5\); \({m_4} = 24\); \({m_1} + {m_2} + {m_3} = 3 + 12 + 15 = 30\); \({a_5} - {a_4} = 3\) và ta có:

\({Q_3} = 18,5 + \frac{{\frac{{3.56}}{4} - 30}}{{24}}.3 = 20\).