Cách lập phương trình chính tắc của elip - Toán 10

Phương trình chính tắc của elip có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), với a > b > 0. Ta cần tìm a, b để thay vào phương trình trên bằng cách suy ra từ dữ kiện của đề bài:

- Elip cắt Ox tại hai điểm \({A_1}( - a;0)\), \({A_2}(a;0)\) và cắt Oy tại hai điểm \({B_1}(0; - b)\), \({B_2}(0;b)\).

- Độ dài trục lớn là 2a, độ dài trục nhỏ là 2b.

- Tiêu điểm là \({F_1}( - \sqrt {{a^2} - {b^2}} ;0)\), \({F_2}(\sqrt {{a^2} - {b^2}} ;0)\).

- Tiêu cự là \(2c = 2\sqrt {{a^2} - {b^2}} \).

- Với điểm M nằm trên đường hypebol, ta có \(\left| {M{F_1} + M{F_2}} \right| = 2a\).

- Elip đi qua điểm \(M(x_0;y_0)\) thì \(\frac{{{x_0^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y_0^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

1) Viết phương trình chính tắc của elip (E) có độ dài hai trục lần lượt là 26 và 10.

Giải:

Ta có: $2a = 26$, $2b = 10$, suy ra $a = 13$, $b = 5$.

Vậy phương trình chính tắc của (E) là $\frac{x^2}{169} + \frac{y^2}{25} = 1$.

2) Viết phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn bằng 20 và tiêu cự bằng 12.

Giải:

Ta có: $2a = 20$, $2c = 12$, suy ra $a = 10$, $c = 6$ và $b = \sqrt{a^2 - c^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$.

Vậy phương trình chính tắc của elip là $\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{64} = 1$.

3) Lập phương trình chính tắc của elip (E) có một tiêu điểm là $F_2(5 ; 0)$ và đi qua điểm $M(0 ; 3)$.

Giải:

Elip (E) có phương trình chính tắc là: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(a > b > 0)$.

Do $F_2(5 ; 0)$ là một tiêu điểm của (E) nên $c = 5$. Điểm $M(0 ; 3)$ nằm trên (E) nên $\frac{0^2}{a^2} + \frac{3^2}{b^2} = 1$. Do đó $b^2 = 9$, suy ra $a^2 = b^2 + c^2 = 9 + 25 = 34$.

Vậy elip (E) có phương trình chính tắc là: $\frac{x^2}{34} + \frac{y^2}{9} = 1$.