Cách tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn, trục nhỏ elip - Toán 10

Cho elip (E): $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ta có thể xác định được:

+ Các đỉnh: $A_1(-a;0)$, $A_2(a;0)$, $B_1(0; -b)$, $B_2(0; b)$.

+ Trục lớn: $A_1A_2 = 2a$, trục nhỏ: $B_1B_2 = 2b$.

+ Hai tiêu điểm $F_1(-c;0)$; $F_2(c;0)$ với $c^2 = a^2 - b^2$.

+ Tâm sai $e = \frac{c}{a} < 1$.

+ Phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là: $x = \pm a$; $y = \pm b$.

1) Cho elip có phương trình: $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ Khi đó độ dài trục lớn, trục nhỏ lần lượt là?

Giải:

Ta có: $\begin{cases} a^2 = 9 \\ b^2 = 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = 3 \\ b = 2 \end{cases}$

- Trục lớn: $A_1A_2 = 2a = 2 . 3 = 6$.

- Trục nhỏ: $B_1B_2 = 2b = 2 . 2 = 4$.

2) Cho elip có phương trình: $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$. Khi đó toạ độ tiêu điểm của elip là?

Giải:

Ta có: $\begin{cases} a^2 = 16 \\ b^2 = 9 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 4 \\ b = 3 \end{cases} \Rightarrow c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{7}$.

Tiêu điểm là: $F_1 (-\sqrt{7}; 0)$, $F_2 (\sqrt{7}; 0)$.

3) Cho elip có phương trình: $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1$. Khi đó toạ độ hai đỉnh trên trục lớn của elip là?

Giải:

Ta có: $a^2 = 4 \Leftrightarrow a = 2$.

Hai đỉnh trên trục lớn là: $A_1 (-2; 0)$, $A_2 (2; 0)$.

4) Cho elip có phương trình: $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$. Khi đó toạ độ hai đỉnh trên trục nhỏ của elip là?

Giải:

Ta có: $b^2 = 4 \Leftrightarrow b = 2$.

Hai đỉnh trên trục nhỏ là: $B_1(0; -2)$ và $B_2(0; 2)$.

5) Đường Elip $\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{4} = 1$ có tiêu cự bằng?

Giải:

Ta có $a^2 = 5$; $b^2 = 4$ suy ra $c = \sqrt{a^2 - b^2} = 1$.

Tiêu cự bằng: $2c = 2$.

6) Cho Elip có phương trình: $9x^2 + 25y^2 = 225$. Lúc đó hình chữ nhật cơ sở có diện tích bằng?

Giải:

Ta có $9x^2 + 25y^2 = 225 \Leftrightarrow \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \Rightarrow \begin{cases} a^2 = 25 \\ b^2 = 9 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = 5 \\ b = 3 \end{cases}$

Độ dài trục lớn (chiều dài hình chữ nhật cơ sở): $2a = 10$.

Độ dài trục nhỏ (chiều rộng hình chữ nhật cơ sở): $2b = 6$.

Diện tích hình chữ nhật cơ sở là: $(2a) . (2b) = 10 . 6 = 60$.