Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình bên. Hàm số \(y = f\left( {{x^2} + 4x} \right) - {x^2} - 4x\) có bao nhiêu điểm cực trị thuộc khoảng \(\left( { - 5;1} \right)\)?
-
A.
\(5\)
-
B.
\(4\)
-
C.
\(6\)
-
D.
\(3\)
Tính đạo hàm \(y'\), giải phương trình \(y' = 0\) tìm nghiệm và nhận xét số nghiệm thuộc khoảng (-5;1) mà đạo hàm đổi dấu qua đó.
Ta có:
\(\begin{array}{l}y' = \left( {2x + 4} \right)f'\left( {{x^2} + 4x} \right) - 2x - 4\\ = \left( {2x + 4} \right)\left[ {f'\left( {{x^2} + 4x} \right) - 1} \right]\\y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 4 = 0\\f'\left( {{x^2} + 4x} \right) - 1 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 4 = 0\\f'\left( {{x^2} + 4x} \right) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 4 = 0\\{x^2} + 4x = - 4\\{x^2} + 4x = 0\\{x^2} + 4x = t \in \left( {1;5} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2 \in \left( { - 5;1} \right)\,\,\left( {\text{bội }\,\,3} \right)\\x = 0 \in \left( { - 5;1} \right)\\x = - 4 \in \left( { - 5;1} \right)\\x = - 2 \pm \sqrt {4 + t} \end{array} \right.\end{array}\)
Xét \({x_1} = - 2 - \sqrt {4 + t} \), với \(1 < t < 5\) thì \( - 5 < - 2 - \sqrt {4 + t} < - 2 - \sqrt 5 < 1\) \( \Rightarrow - 5 < {x_1} < 1\)
Xét \({x_2} = - 2 + \sqrt {4 + t} \), với \(1 < t < 5\) thì \( - 5 < - 2 + \sqrt 5 < - 2 + \sqrt {4 + t} < 1\) \( \Rightarrow - 5 < {x_2} < 1\)
Do đó phương trình \(y' = 0\) có \(5\) nghiệm phân biệt thuộc \(\left( { - 5;1} \right)\) và các nghiệm này đều là nghiệm bội lẻ nên đạo hàm \(y'\) đổi dấu qua chúng.
Vậy hàm số có \(5\) điểm cực trị trong khoảng \(\left( { - 5;1} \right)\)
Đáp án : A
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\left( {a;b} \right)$. Nếu $f'\left( x \right)$ đổi dấu từ âm sang dương qua điểm ${x_0}$ thuộc \((a;b)\) thì
Giả sử $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm cấp hai trên $\left( {a;b} \right)$. Nếu $\left\{ \begin{gathered}f'\left( {{x_0}} \right) = 0 \hfill \\ f''\left( {{x_0}} \right) > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ thì
Nếu ${x_0}$ là điểm cực tiểu của hàm số thì $f\left( {{x_0}} \right)$ là:
Nếu ${x_0}$ là điểm cực đại của hàm số thì $\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)$ là:
Cho các phát biểu sau:
1. Hàm số $y = f\left( x \right)$ đạt cực đại tại ${x_0}$ khi và chỉ khi đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm qua ${x_0}$.
2. Hàm số $y = f\left( x \right)$ đạt cực trị tại ${x_0}$ khi và chỉ khi ${x_0}$ là nghiệm của đạo hàm.
3. Nếu $f'\left( {{x_0}} \right) = 0$ và $f''\left( {{x_0}} \right) = 0$ thì ${x_0}$ không phải là cực trị của hàm số $y = f\left( x \right)$ đã cho.
4. Nếu $f'\left( {{x_0}} \right) = 0$ và $f''\left( {{x_o}} \right) > 0$ thì hàm số đạt cực đại tại ${x_0}$.
Các phát biểu đúng là:
Điều kiện để hàm số bậc ba không có cực trị là phương trình $y' = 0$ có:
Chọn phát biểu đúng:
Số điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = \dfrac{{x - 1}}{{2 - x}}$ là:
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 1$ là:
Hàm số nào sau đây không có cực trị?
Hàm số $f\left( x \right) = 2\sin 2x - 3$ đạt cực tiểu tại:
Đồ thị hàm số nào sau đây có $3$ điểm cực trị?
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f'\left( x \right) = \left( {x -1}\right)\left({{x^2}- 2} \right)\left( {{x^4} - 4} \right)$. Số điểm cực trị của hàm số $y = f\left( x \right)$ là:
Đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3x + 2$ có $2$ điểm cực trị $A,\;B.$ Diện tích tam giác $OAB\;$ với $O(0;0)$ là gốc tọa độ bằng:
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên trên khoảng $\left( {0;2} \right)$ như sau:
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng:
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai:
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình bên dưới, chọn khẳng định sai:
Hàm số $y = {x^3} - 3x^2 + 4$ đạt cực tiểu tại:
Cho hàm số $y = \dfrac{{ - {x^2} + 3x + 6}}{{x + 2}}$, chọn kết luận đúng:
