Bất phương trình $\sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16} - \sqrt {4 - x} \geqslant 2\sqrt 3 $ có tập nghiệm là $\left[ {a;b} \right].$ Hỏi tổng $a + b$ có giá trị là bao nhiêu?
-
A.
$5$
-
B.
$ - 2$
-
C.
$4$
-
D.
$3$
Xét tính đơn điệu của hàm số $f(x) = \sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16} - \sqrt {4 - x} $, từ đó tìm nghiệm của phương trình $\sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16} - \sqrt {4 - x} = 2\sqrt 3 $ và kết luận tập nghiệm của bất phương trình đã cho.
ĐKXĐ : $\left\{ \begin{gathered}2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16 \geqslant 0 \hfill \\4 - x \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\left( {x + 2} \right)\left( {2{x^2} - x + 8} \right) \geqslant 0 \hfill \\4 - x \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow - 2 \leqslant x \leqslant 4$
Tập xác định: $D = \left[ { - 2;4} \right]$
Xét hàm số
$f(x) = \sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16} - \sqrt {4 - x} $
$ \Rightarrow f'(x) = \dfrac{{6{x^2} + 6x + 6}}{{2\sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16} }} + \dfrac{1}{{2\sqrt {4 - x} }} > 0$
Suy ra hàm số $f(x)$ đồng biến trên tập xác định
Ta nhận thấy phương trình $f\left( 1 \right) = 2\sqrt 3 \Rightarrow $ với $x\ge 1$ thì $f\left( x \right) \geqslant f\left( 1 \right) = 2\sqrt 3 $.
Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là $\left[ {1;4} \right]$.
Do đó tổng $a + b = 5$.
Đáp án : A
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $D$ và ${x_1},{x_2} \in D$ mà ${x_1} > {x_2}$, khi đó:
Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định và có đạo hàm trên $\left( {a;b} \right)$. Nếu $f'\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( {a;b} \right)$ thì:
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến và có đạo hàm trên $\left( { - 5;5} \right)$. Khi đó:
Hình dưới là đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\). Hỏi hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2} - 4\). Chọn khẳng định đúng:
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào không đồng biến trên $R?$
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ, chọn kết luận đúng:
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định và có đạo hàm trên $\left( {a;b} \right)$. Chọn kết luận đúng:
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định và có đạo hàm $f'\left( x \right) = 2{x^2}$ trên $R$. Chọn kết luận đúng:
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng:
Hàm số $y = - {x^4} - 2{x^2} + 3$ nghịch biến trên:
Cho hàm số: $f(x) = - 2{x^3} + 3{x^2} + 12x - 5.$ Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai?
Hàm số $y = {x^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 4$ đồng biến trên:
Trong tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = \dfrac{1}{3}{x^3} + m{x^2} - mx - m$ đồng biến trên $R$, giá trị nhỏ nhất của $m$ là:
Tìm các giá trị của tham số $m$ sao cho hàm số $y = - {x^3} - {x^2} + mx + 1$ nghịch biến trên $R$?
Xác định giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = {x^3} - 3m{x^2} - m$ nghịch biến trên khoảng $\left( {0;1} \right)$.
Tìm $m$ để hàm số $y = \dfrac{{{x^3}}}{3} - 2m{x^2} + 4mx + 2$ nghịch biến trên khoảng $\left( { - 2;0} \right)$.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \dfrac{{mx + 2}}{{2x + m}}$ nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó?
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 6x + m} \right)\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu số nguyên \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 2019;\,2019} \right]\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {1 - x} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\, - 1} \right)\)?
Cho \(f\left( x \right)\) mà đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình bên. Hàm số \(y = f\left( {x - 1} \right) + {x^2} - 2x\) đồng biến trên khoảng?
