Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {a,b,c} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {a';b';c'} \right)\).
a) Vectơ \(\overrightarrow n = \left( {bc' - b'c;ca' - c'a;ab' - a'b} \right)\) có vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) hay không?
b) \(\overrightarrow n = \overrightarrow 0 \) khi và chỉ khi \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) có mối quan hệ gì?
Sử dụng kiến thức về tích vô hướng của 2 vectơ để chứng minh: Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của 2 vectơ \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {x';y';z'} \right)\) được xác định bởi công thức: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = xx' + yy' + zz'\).
a) Ta có: \(\overrightarrow n .\overrightarrow u = a\left( {bc' - b'c} \right) + b\left( {ca' - c'a} \right) + c\left( {ab' - a'b} \right)\)
\( = abc' - ab'c + cba' - abc' + ab'c - a'bc = \left( {abc' - abc'} \right) - \left( {ab'c - ab'c} \right) + \left( {cba' - cba'} \right) = 0\)
Do đó, vectơ \(\overrightarrow n \) vuông góc với vectơ \(\overrightarrow u \).
Ta có: \(\overrightarrow n .\overrightarrow v = a'\left( {bc' - b'c} \right) + b'\left( {ca' - c'a} \right) + c'\left( {ab' - a'b} \right)\)
\( = a'bc' - a'b'c + cb'a' - ab'c' + ab'c' - a'bc'\)
\( = \left( {a'bc' - a'bc'} \right) - \left( {a'b'c - a'b'c} \right) + \left( {ab'c' - ab'c'} \right) = 0\)
Do đó, vectơ \(\overrightarrow n \) vuông góc với vectơ \(\overrightarrow v \).
Suy ra, vectơ \(\overrightarrow n \) vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \).
b) Nếu \(\overrightarrow n = \overrightarrow 0 \) thì \(\left\{ \begin{array}{l}bc' - b'c = 0\\ca' - c'a = 0\\ab' - a'b = 0\end{array} \right.\left( I \right)\)
+ Với \(a = 0,b = 0,c = 0\) thì (I) luôn đúng. Khi đó, \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) cùng phương.
+ Với \(a \ne 0,b \ne 0,c \ne 0\), từ (I) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{b'}}{b} = \frac{{c'}}{c}\\\frac{{a'}}{a} = \frac{{c'}}{c}\\\frac{{b'}}{b} = \frac{{a'}}{a}\end{array} \right.\), do đó, \(a' = ka,b' = kb,c' = kc\;\;\left( {k \in \mathbb{R}} \right)\)
Suy ra: \(\overrightarrow v = k\overrightarrow u \). Khi đó, \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) cùng phương.
Vậy \(\overrightarrow n = \overrightarrow 0 \) khi và chỉ khi \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) cùng phương.
Các bài tập cùng chuyên đề
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {x';y';z'} \right)\).
a) Giải thích vì sao \(\overrightarrow i .\overrightarrow i = 1\) và \(\overrightarrow i .\overrightarrow j = \overrightarrow i .\overrightarrow k = 0\).
b) Sử dụng biểu diễn \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) để tính các tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow i ;\overrightarrow a .\overrightarrow j \) và \(\overrightarrow a .\overrightarrow k \).
c) Sử dụng biểu diễn \(\overrightarrow b = x'\overrightarrow i + y'\overrightarrow j + z'\overrightarrow k \) để tính các tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \).
Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow a = \left( {2;1; - 3} \right),\overrightarrow b = \left( { - 2; - 1;2} \right)\). Tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) bằng
A. \( - 2\).
B. \( - 11\).
C. 11.
D. 2.
Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow a = \left( {2;1; - 2} \right),\overrightarrow b = \left( {0; - 1;1} \right)\). Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) bằng
A. \({60^0}\).
B. \({135^0}\).
C. \({120^0}\).
D. \({45^0}\).
Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow a = \left( { - 2;2;2} \right),\overrightarrow b = \left( {1; - 1; - 2} \right)\). Côsin của góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) bằng
A. \(\frac{{ - 2\sqrt 2 }}{3}\).
B. \(\frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
C. \(\frac{{\sqrt 2 }}{3}\).
D. \(\frac{{ - \sqrt 2 }}{3}\).
a) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), C’(1;1;1). Hãy chỉ ra tọa độ của một vecto vuông góc với cả hai vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \)
b) Cho hai vecto \(\overrightarrow u = ({x_1};{y_1};{z_1})\) và \(\overrightarrow v = ({x_2};{y_2};{z_2})\) không cùng phương. Xét vecto \(\overrightarrow w = ({y_1}{z_2} - {y_2}{z_1};{z_1}{x_2} - {z_2}{x_1};{x_1}{y_2} - {x_2}{y_1})\).
- Tính \(\overrightarrow w .\overrightarrow u \), \(\overrightarrow w .\overrightarrow v \)
- Vecto \(\overrightarrow w \) có vuông góc với cả hai vecto \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) hay không?
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(\overrightarrow a = (3;2; - 1)\), \(\overrightarrow b = ( - 2;1;2)\). Tính cosin của góc \((\overrightarrow a ,\overrightarrow b )\)
Tích vô hướng của hai vecto \(\overrightarrow u = (1; - 2;3),\overrightarrow v = (3;4; - 5)\) là:
A. \(\sqrt {14} .\sqrt {50} \)
B. \( - \sqrt {14} .\sqrt {50} \)
C. 20
D. -20
Một thiết bị thăm dò đáy biển (Hình 2) được đẩy bởi một lực \(\overrightarrow f = (5;4; - 2)\) (đơn vị: N) giúp thiết bị thực hiện độ dời \(\overrightarrow a = (70;20; - 40)\) (đơn vị: m). Tính công sinh bởi lực \(\overrightarrow f \)
Cho ba vectơ \(\overrightarrow m = ( - 5;4;9)\), \(\overrightarrow n = (2; - 7;0)\), \(\overrightarrow p = (6;3; - 4)\).
a) Tính \(\overrightarrow m .\overrightarrow n \), \(\overrightarrow m .\overrightarrow p \)
b) Tính \(|\overrightarrow m |\), \(|\overrightarrow n |\), \(\cos (\overrightarrow m ,\overrightarrow n )\)
c) Cho \(\overrightarrow q = (1; - 2;0)\). Vectơ \(\overrightarrow q \) có vuông góc với \(\overrightarrow p \) không?
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a = ({a_1};{a_2};{a_3})\), \(\overrightarrow b = ({b_1};{b_2};{b_3})\).
a) Biểu diễn từng vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) theo ba vectơ \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \)
b) Tính các tích vô hướng \({\overrightarrow i ^2},{\overrightarrow j ^2},{\overrightarrow k ^2}\), \(\overrightarrow i .\overrightarrow j \), \(\overrightarrow j .\overrightarrow k \), \(\overrightarrow k .\overrightarrow i \)
c) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) theo toạ độ của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \).
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a = ({a_1};{a_2};{a_3})\), \(\overrightarrow b = ({b_1};{b_2};{b_3})\), ta có biểu thức tọa độ của tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}\)
Gọi a là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u = (0; - 1;0)\) và \(\overrightarrow v = (\sqrt 3 ;1;0)\). Giá trị của \(\alpha \) là
A. \(\alpha = \frac{\pi }{6}\).
B. \(\alpha = \frac{\pi }{3}\).
C. \(\alpha = \frac{{2\pi }}{3}\).
D. \(\alpha = \frac{\pi }{2}\).
Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) tạo với nhau một góc \({60^ \circ }\) và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 3cm,\left| {\overrightarrow b } \right| = 4cm\). Khi đó \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) bằng:
A. 12
B. 6
C. \(6\sqrt 3 \)
D. ‒6
Trong không gian \(Oxyz\) được thiết lập tại một sân bay, người ta ghi nhận hai máy bay đang bay đến với các vectơ vận tốc \(\overrightarrow u = \left( {90; - 80; - 120} \right),\overrightarrow v = \left( {60; - 50; - 60} \right)\).
Tính góc giữa hai vectơ vận tốc nói trên (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của độ).
Cho hai vectơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) thoả mãn \(\left| {\overrightarrow u } \right| = 2,\left| {\overrightarrow v } \right| = 1\) và \(\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {60^ \circ }\). Tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow v \) và \(\overrightarrow u - \overrightarrow v \).
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {2;1; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {0;2m; - 4} \right)\). Giá trị của tham số \(m\) để hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) vuông góc với nhau là
A. \(m = - 4\).
B. \(m = - 2\).
C. \(m = 2\).
D. \(m = 4\).
Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( { - 2;1;3} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( { - 3;2;5} \right)\) là:
A. \(\sqrt {14} .\sqrt {38} \)
B. \( - \sqrt {14} .\sqrt {38} \)
C. 23
D. ‒23
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(\overrightarrow a = \left( {1;2;4} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {2;1;5} \right)\). Tích vô hướng \(\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) \cdot \overrightarrow a \) bằng
A. 54
B. -3
C. -6
D. 45
Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABC với
\(S\left( { - 2;1;3} \right),{\rm{ }}A\left( { - 4;3;2} \right),{\rm{ }}B\left( {0;2;1} \right),C\left( { - 2;1 + \sqrt 3 ;3} \right)\).
a) Chứng minh rằng hai cạnh bên SA, SB bằng nhau và vuông góc với nhau.
b) Tính số đo của \(\widehat {ASC}\) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Trong không gian Oxyz, cho \(\vec a = (1;0;1)\), \(\vec b = (1;1;0)\) và \(\vec c = ( - 4;3;m)\).
a) Tìm góc giữa hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\).
b) Tìm m để vectơ \(\vec d = 2\vec a + 3\vec b\) vuông góc với \(\vec c\).
Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(2; -1; 1). Tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \).
Tích vô hướng của hai vectơ \(\vec a = (1;1;1)\) và \(\vec b = ( - 1;2;1)\) bằng:
A. \(\sqrt 3 \cdot \sqrt 6 \).
B. \( - \sqrt 3 \cdot \sqrt 6 \).
C. \(2\).
D. \(\sqrt 2 \).
Nếu \(\vec a = (1;1;0)\), \(\vec b = (1;1; - 3)\) thì \(\cos (\vec a,\vec b)\) bằng:
A. \(\frac{{\sqrt {22} }}{{11}}\).
B. \(\frac{{11}}{2}\).
C. \(\frac{{11}}{{\sqrt {22} }}\).
D. \(\frac{2}{{11}}\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto \(\overrightarrow a = (2;1;0)\) và \(\overrightarrow b = ( - 1;0; - 2)\). Tính \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto \(\overrightarrow u = (3;0;1)\) và \(\overrightarrow v = (2;1;0)\). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow u .\overrightarrow v \).
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto \(\overrightarrow u = (4;2;1)\) và \(\overrightarrow v = (1;2;1)\). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow u .\overrightarrow v \).
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto \(\overrightarrow u = (3;2;1)\) và \(\overrightarrow v = (1;2;3)\). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow u .\overrightarrow v \).
