Lý thuyết Nguyên hàm Toán 12 Kết nối tri thức

Lý thuyết Nguyên hàm

Quảng cáo

👉

Giải bài nhanh với AI Hay:

1. Nguyên hàm của một hàm số

a) Khái niệm nguyên hàm

Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K.

b) Họ nguyên hàm của một hàm số

Giả sử hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Khi đó:

a) Với mỗi hằng số C, hàm số F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

b) Nếu hàm số G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì tồn tại một hằng số C sao chp G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K.

Như vậy, nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C (C là hằng số). Ta gọi F(x) + C là họ các nguyên hàm của f(x) trên K, kí hiệu bởi \(\int {f(x)dx} \).

2. Tính chất cơ bản của nguyên hàm

\(\int {kf(x)dx = k\int {f(x)dx\,\,(k \ne 0)} } \);
\(\int {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx = \int {f(x)dx + \int {g(x)dx} } \);
\(\int {\left[ {f(x) - g(x)} \right]} dx = \int {f(x)dx - \int {g(x)dx} } \).

3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

a) Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

Hàm số lũy thừa \(y = {x^\alpha }(\alpha \in R)\) có đạo hàm với mọi x > 0 và \(({x^\alpha })' = \alpha {x^{\alpha - 1}}\).

\(\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C(\alpha \ne - 1)} \);
\(\int {\frac{1}{x}x = \ln \left| x \right| + C} \).

b) Nguyên hàm của hàm số lượng giác

\(\int {\cos xdx = \sin x + C} \);

\(\int {\sin xdx = - \cos x + C} \);

\(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = \tan x + C} \);

\(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = - \cot x + C} \).

c) Nguyên hàm của hàm số mũ

\(\int {{e^x}dx = {e^x} + C} \);
\(\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C(0 < a \ne 1)} \).

👉

Giải bài nhanh với AI Hay:

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải câu hỏi mở đầu trang 4 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Một máy bay di chuyển ra đến đường băng và bắt đầu chạy đà để cất cánh. Giả sử vận tốc của máy bay khi chạy đà được cho bởi v(t) = 5 + 3t (m/s), với t là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi máy bay bắt đầu chạy đà.
Giải mục 1 trang 4, 5, 6 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Nguyên hàm của một số
Giải mục 2 trang 6, 7, 8 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Tính chất cơ bản của nguyên hàm
Giải mục 3 trang 8, 9, 10 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
Giải bài tập 4.1 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong mỗi trường hợp sau, hàm số F(x) có là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng tương ứng không? Vì sao? a) (Fleft( x right) = xln x) và (fleft( x right) = 1 + ln x) trên khoảng (left( {0; + infty } right)); b) (Fleft( x right) = {e^{sin x}}) và (fleft( x right) = {e^{cos x}}) trên (mathbb{R}).
Giải bài tập 4.2 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) (fleft( x right) = 3{x^2} + 2x - 1); b) (fleft( x right) = {x^3} - x); c) (fleft( x right) = {left( {2x + 1} right)^2}); d) (fleft( x right) = {left( {2x - frac{1}{x}} right)^2}).
Giải bài tập 4.3 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Tìm: a) \(\int {\left( {3\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}} \right)} dx\); b) \(\int {\sqrt x \left( {7{x^2} - 3} \right)} dx\left( {x > 0} \right)\); c) \(\int {\frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2}}}} dx\); d) \(\int {\left( {{2^x} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} dx\).
Giải bài tập 4.4 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Tìm: a) (int {left( {2cos x - frac{3}{{{{sin }^2}x}}} right)} dx); b) (int {4{{sin }^2}frac{x}{2}} dx); c) (int {{{left( {sin frac{x}{2} - cos frac{x}{2}} right)}^2}} dx); d) (int {left( {x + {{tan }^2}x} right)} dx).
Giải bài tập 4.5 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Cho hàm số (y = fleft( x right)) xác định trên khoảng (left( {0; + infty } right)). Biết rằng (f'left( x right) = 2x + frac{1}{{{x^2}}}) với mọi (x in left( {0; + infty } right)) và (fleft( 1 right) = 1). Tính giá trị f(4).
Giải bài tập 4.6 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Cho hàm số (y = fleft( x right)) có đồ thị là (C). Xét điểm (Mleft( {x;fleft( x right)} right)) thay đổi trên (C). Biết rằng, hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M là ({k_M} = {left( {x - 1} right)^2}) và điểm M trùng với gốc tọa độ khi nó nằm trên trục tung. Tìm biểu thức f(x).
Giải bài tập 4.7 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm t giây (coi \(t = 0\) là thời điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của nó được cho bởi \(v\left( t \right) = 160 - 9,8t\left( {m/s} \right)\). Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất). a) Sau \(t = 5\) giây; b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).