Lý thuyết Giới hạn của hàm số - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

Cho khoảng K chứa điểm \({x_0}\) và hàm số \(y = f(x)\) xác định trên K hoặc trên \(K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\). Ta nói hàm số \(y = f(x)\) có giới hạn hữu hạn là số L khi \(x\) dần tới \({x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì, \({x_n} \in K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\) và \({x_n} \to {x_0}\), ta có \(f({x_n}) \to L\).

Kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L\) hay \(f(x) \to L\), khi \({x_n} \to {x_0}\).

2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số

a) Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = M\) thì:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x) \pm g(x)} \right] = L \pm M\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x).g(x)} \right] = L.M\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {\frac{{f(x)}}{{g(x)}}} \right] = \frac{L}{M}\left( {M \ne 0} \right)\)

b) Nếu \(f(x) \ge 0\) với mọi \(x \in \left( {a;b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L\) thì \(L \ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f(x)}  = \sqrt L \).

* Nhận xét:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {x^k} = {x_0}^k,k \in {\mathbb{Z}^ + }\).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {c.f(x)} \right] = c.\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)\) (\(c \in \mathbb{R}\), nếu tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) \in \mathbb{R}\))

3. Giới hạn một phía

Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \(\left( {{x_0};b} \right)\).

Ta nói \(y = f(x)\) có giới hạn bên phải là số L khi \(x \to {x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì, \({x_0} < {x_n} < b\) và \({x_n} \to {x_0}\) thì \(f({x_n}) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = L\).

Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\).

Ta nói \(y = f(x)\)có giới hạn bên phải là số L khi \(x \to {x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì, \(a < {x_n} < {x_0}\) và \({x_n} \to {x_0}\) thì \(f({x_n}) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = L\).

* Chú ý:

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = L\)
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x)\) thì không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)\).
• Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số ở Mục 2 vẫn đúng khi ta thay \(x \to {x_0}\) bằng \(x \to {x_0}^ + \) hoặc \(x \to {x_0}^ - \).

4. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \(\left( {a; + \infty } \right)\). Ta nói hàm số \(f(x)\) có giới hạn là số L khi \(x \to  + \infty \) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì \({x_n} > a\) và \({x_n} \to  + \infty \) ta có \(f({x_n}) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = L\) hay \(f(x) \to L\) khi \(x \to  + \infty \).

Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \(\left( { - \infty ;a} \right)\). Ta nói hàm số \(f(x)\) có giới hạn là số L khi \(x \to  - \infty \) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì \({x_n} < a\) và \({x_n} \to  - \infty \) ta có \(f({x_n}) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = L\) hay \(f(x) \to L\) khi \(x \to  - \infty \).

* Nhận xét:

• Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.
• Với c là hằng số, k là một số nguyên dương ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } c = c,\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } (\frac{c}{{{x^k}}}) = 0\)

5. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \(\left( {{x_0};b} \right)\).

Ta nói hàm số \(f(x)\) có giới hạn bên phải là \( + \infty \) khi \(x \to {x_0}\) về bên phải nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì thỏa mãn \({x_0} < {x_n} < b\) và \({x_n} \to {x_0}\) ta có \(f({x_n}) \to  + \infty \), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) =  + \infty \).

Ta nói hàm số \(f(x)\) ó giới hạn bên phải là \( - \infty \) khi \(x \to {x_0}\) về bên trái nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì thỏa mãn \(a < {x_n} < {x_0}\) và \({x_n} \to {x_0}\) ta có \(f({x_n}) \to  + \infty \), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) =  + \infty \).

Các giới hạn một bên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) =  - \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) =  - \infty \) được định nghĩa tương tự.

* Chú ý:

+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^k} =  + \infty ,k \in {\mathbb{Z}^ + }\).

+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^k} =  + \infty ,\) k là số nguyên dương chẵn.

+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^k} =  - \infty ,\) k là số nguyên dương lẻ.

+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} \frac{1}{{x - a}} =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} \frac{1}{{x - a}} =  - \infty \left( {a \in \mathbb{R}} \right)\)

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = L \ne 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } g(x) =  + \infty \) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } g(x) =  - \infty \) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } \left[ {f(x).g(x)} \right]\) được tính như sau:

 

Các quy tắc trên vẫn đúng khi thay \({x_0}^ + \) thành \({x_0}^ - \) (hoặc \( + \infty \), \( - \infty \)).