Bài 17. Dấu của tam thức bậc hai - SBT Toán 10 KNTT

Giải bài 6.27 trang 19 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa...

Đề bài

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

\({b^2}{x^2} - ({b^2} + {c^2} - {a^2})x + {c^2} > 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Tính giá trị của ∆.

Bước 2: Áp dụng bất đẳng thức tam giác để chứng minh ∆ < 0.

Bước 3: Kết luận.

Lời giải chi tiết

Tam thức bậc hai \({b^2}{x^2} - ({b^2} + {c^2} - {a^2})x + {c^2}\) có:

\(\Delta = {({b^2} + {c^2} - {a^2})^2} - 4{b^2}{c^2}\)

\( = ({b^2} + {c^2} - {a^2} - 2bc)({b^2} + {c^2} - {a^2} + 2bc)\)

\( = \left[ {{{(b - c)}^2} - {a^2}} \right]\left[ {{{(b + c)}^2} - {a^2}} \right]\)

\( = (b - c - a)(b - c + a)(b + c - a)(b + c + a)\)

\( = - (a + c - b)(a + b - c)(b + c - a)(a + b + c)\).

Do a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên a > 0, b > 0, c > 0 và a + b + c > 0.

Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

\(a + b > c \Leftrightarrow a + b - c > 0\);

\(b + c > a \Leftrightarrow b + c - a > 0\);

\(a + c > b \Leftrightarrow a + c - b > 0\).

Do đó:

\((a + c - b)(a + b - c)(b + c - a)(a + b + c) > 0\)

\( \Rightarrow - (a + c - b)(a + b - c)(b + c - a)(a + b + c) < 0\)

\( \Rightarrow \Delta < 0\) với mọi a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.

Vì hệ số \(a = b^2 > 0\) và \(\Delta < 0\) nên BPT \({b^2}{x^2} - ({b^2} + {c^2} - {a^2})x + {c^2} > 0\) nghiệm đúng \(\forall x \in \mathbb{R}\)

Vậy \({b^2}{x^2} - ({b^2} + {c^2} - {a^2})x + {c^2} > 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Báo lỗi - Góp ý

Các bài khác cùng chuyên mục

TẢI APP ĐỂ XEM OFFLINE