Giải bài 4.38 trang 87 SGK Toán 7 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A có \(\widehat {A} = 120^\circ \). Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N sao cho MA, NA lần lượt vuông góc với AB, AC. Chứng minh rằng:

a) \(\Delta \)BAM = \(\Delta \)CAN;

b) Các tam giác ANB, AMC lần lượt cân tại N, M.

Lời giải chi tiết

a) Xét 2 tam giác vuông BAM và CAN có:

\(\widehat{BAM} = \widehat{CAM}(=90^\circ)\)

AB=AC (Do tam giác ABC cân tại A)

\(\widehat B = \widehat C\) (Do tam giác ABC cân tại A)

Do đó \(\Delta BAM = \Delta CAN\) (g.c.g)

b) Cách 1: 

Xét tam giác ABC cân tại A, có \(\widehat {A} = 120^\circ \) có:

\(\widehat B = \widehat C = \frac{{{{180}^\circ} - {{120}^\circ}}}{2} = {30^\circ}\).

Xét tam giác ABM vuông tại A có:

\(\widehat {B} + \widehat {BAM} + \widehat {AMB} = {180^\circ}\\ {30^\circ} + {90^\circ} + \widehat {AMB} = {180^\circ}\\ \text{suy ra } \widehat {AMB} = {60^\circ}\\ \text{do đó } \widehat {AMC} = {180^\circ} - \widehat {AMB} = {180^\circ} - {60^\circ} = {120^\circ}\)

Xét tam giác MAC có:

\(\begin{array}{l}\widehat {AMC} + \widehat {MAC} + \widehat C = {180^\circ}\\ {120^\circ} + \widehat {MAC} + {30^\circ} = {180^\circ}\\ \text{suy ra } \widehat {MAC} = {30^\circ} = \widehat C\end{array}\)

Do đó tam giác AMC cân tại M.

Vì \(\Delta BAM = \Delta CAN\) nên BM=CN ( 2 cạnh tương ứng)

suy ra BM+MN=CN+NM

hay BN=CM

Xét 2 tam giác ANB và AMC có:

AB=AC (cmt)

\(AN = AM\) (do \(\Delta BAM = \Delta CAN\))

BN=MC (cmt)

Suy ra \(\Delta ANB = \Delta AMC\) (c.c.c)

Mà tam giác AMC cân tại M nên tam giác ANB cân tại N.

Cách 2: 

Xét tam giác ABC cân tại A, có \(\widehat {A{\rm{ }}} = 120^\circ \) có:

\(\widehat B = \widehat C = \frac{{{{180}^\circ} - {{120}^\circ}}}{2} = {30^\circ}\).

Xét tam giác ABM vuông tại A có:

\(\widehat B + \widehat {BAM} + \widehat {AMB} = {180^\circ}\\ {30^\circ} + {90^\circ} + \widehat {AMB} = {180^\circ}\\ \text{suy ra } \widehat {AMB} = {60^\circ}\)

Vì \(\Delta BAM = \Delta CAN\) nên AM = AN (2 cạnh tương ứng)

Do đó \(\Delta AMN\) đều (Tam giác cân có 1 góc bằng 60 độ)

suy ra \(\widehat {NAM}=60^0\)

Ta có: \(\widehat{BAN}+\widehat{NAM}=\widehat{BAM}\)

\(\widehat{BAN} + 60^\circ=90^\circ\)

suy ra \(\widehat{BAN}=30^0\)

Xét tam giác ABN có \(\widehat{BAN}=\widehat{ABN}(=30^\circ\) nên \(\Delta ABN\) cân tại N.

Ta có: \(\widehat{CAM}+\widehat{NAM}=\widehat{CAN}\)

\(\widehat{CAM} + 60^\circ=90^\circ\)

suy ra \(\widehat{CAM}=30^\circ\)

Xét tam giác ACM có \(\widehat{CAM}=\widehat{ACM}(=30^\circ\) nên \(\Delta ACM\) cân tại M.