Giải bài 4.18 trang 55 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Cho hình bình hành ABCD, điểm E thuộc cạnh AB (E khác A và B), điểm F thuộc cạnh AD (F khác A và D).

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD, điểm E thuộc cạnh AB (E khác A và B), điểm F thuộc cạnh AD (F khác A và D). Đường thẳng qua D song song với EF cắt AC tại I. Đường thẳng qua B song song với EF cắt AC tại K.

a) Chứng minh rằng $AI = CK$ .

b) Gọi N là giao điểm của EF và AC. Chứng minh rằng: $\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{AD}}{{AF}} = \frac{{AC}}{{AN}}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về định lí Thalès để chứng minh: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Lời giải chi tiết

Vì ABCD là hình bình hành nên $AD = BC$ , AD//BC nên $\widehat {IAD} = \widehat {KCB}$ (so le trong) (1)

Vì NF//ID (gt) nên $\widehat {ANF} = \widehat {AID}$ (đồng vị)

Vì EN//BK (gt) nên $\widehat {BKC} = \widehat {ENC}$ (đồng vị)

Mà $\widehat {ANF} = \widehat {ENC}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó, $\widehat {AID} = \widehat {BKC}$ (2)

Tam giác BKC có: $\widehat {KCB} + \widehat {BKC} + \widehat {CBK} = {180^0}$ (3)

Tam giác AID có: $\widehat {IAD} + \widehat {AID} + \widehat {ADI} = {180^0}$ (4)

Từ (1), (2), (3), (4) ta có: $\widehat {ADI} = \widehat {KBC}$

Tam giác AID và tam giác CKB có:

$\widehat {ADI} = \widehat {KBC}$ (cmt), $AD = BC$ (cmt), $\widehat {IAD} = \widehat {KCB}$ (cmt)

Do đó, $\Delta AID = \Delta CKB\left( {g - c - g} \right) \Rightarrow AI = CK$

b) Tam giác ABK có EN//BK (gt) nên theo định lí Thalès ta có: $\frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{AK}}{{AN}}$

Tam giác ADI có FN//DI (gt) nên theo định lí Thalès ta có: $\frac{{AD}}{{AF}} = \frac{{AI}}{{AN}}$

Do đó, $\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{AD}}{{AF}} = \frac{{AK}}{{AN}} + \frac{{AI}}{{AN}} = \frac{{AK + AI}}{{AN}}$

Mà $AI = CK$ (cmt) nên $\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{AD}}{{AF}} = \frac{{AK + CK}}{{AN}} = \frac{{AC}}{{AN}}$

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

3.9 trên 8 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 4.19 trang 55 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Cho góc nhọn xOy. Trên cạnh Ox lấy điểm N, trên cạnh Oy lấy điểm M. Gọi I là một điểm trên đoạn thẳng MN.
Giải bài 4.20 trang 55 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Cho hình bình hành ABCD, AC cắt BD tại O. Đường phân giác góc A cắt BD tại M, đường phân giác góc D cắt AC tại N. Chứng minh MN//AD
Giải bài 4.17 trang 55 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BD, CE $\left( {D \in AC,E \in AB} \right)$ . Chứng minh DE//BC
Giải bài 4.16 trang 55 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD, CE. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BE, CD.
Giải bài 4.15 trang 55 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Cho tam giác ABC, điểm I nằm trong tam giác. Lấy điểm D trên IA, qua D kẻ đường thẳng song song với AB, cắt IB tại E.
Giải câu hỏi trắc nghiệm trang 53, 54 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Cho tam giác ABC có E và F lần lượt là trung điểm của AB, AC. Độ dài EF bằng:

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 8 - Kết nối tri thức - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.