Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 9 - Kết nối tri thức Đề thi học kì 1 Toán 9 - Kết nối tri thức

Đề thi học kì 1 Toán 9 - Đề số 4

Tải về

Phần trắc nghiệm (3 điểm) Chọn câu trả lời đúng trong mỗi câu sau:

Đề bài

Xem đáp án

Làm đề thi

Tải về

Đề bài

I. Trắc nghiệm

Phần trắc nghiệm (3 điểm) Chọn câu trả lời đúng trong mỗi câu sau:

Câu 1 : Cho hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x - y = 2}\\{x + 3y = 7}\end{array}} \right.$ . Cặp số nào dưới đây là nghiệm của hệ phương trình đã cho?

A.

$\left( {2;2} \right)$ .
B.

$\left( { - 1; - 2} \right)$ .
C.

$\left( {1;2} \right)$ .
D.

$\left( {2; - 2} \right)$ .

Câu 2 : Điều kiện xác định của phương trình $\frac{{x + 2}}{{x - 4}} + 1 = \frac{1}{{x + 3}}$

A.

$x \ne 4$ và $x \ne 3$ .
B.

$x \ne - 4$ và $x \ne 3$ .
C.

$x \ne 4$ và $x \ne - 3$ .
D.

$x \ne - 4$ và $x \ne - 3$ .

Câu 3 : Số 3 là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

A.

$5x - 10 \le 0$ .
B.

$2x + 1 > 0$ .
C.

$- 5x + 7 \ge 0$ .
D.

$2x - 5 < 0$ .

Câu 4 : Số nào sau đây có căn bậc hai số học bằng 4?

A.

2.
B.

4.
C.

-2.
D.

16.

Câu 5 : Căn thức $\sqrt {4 - 2x}$ xác định khi

A.

$x \ge 2$ .
B.

$x \le 2$ .
C.

$x \ge - 2$ .
D.

$x \le - 2$ .

Câu 6 : Sau khi rút gọn biểu thức $\frac{2}{{2 - \sqrt 3 }} + \frac{2}{{2 + \sqrt 3 }}$ ta được phân số tối giản $\frac{a}{b}$ , giá trị $a + b$ là

A.

10.
B.

9.
C.

8.
D.

7.

Câu 7 : Giá trị của biểu thức $A = \sqrt {25} .\sqrt 9 - \sqrt[3]{{ - 27}}$ là

A.

12.
B.

15.
C.

18.
D.

21.

Câu 8 : Tam giác ABC vuông tại A có AC = 6cm; BC = 12cm. Số đo góc ACB bằng

A.

$30^\circ$ .
B.

$45^\circ$ .
C.

$60^\circ$ .
D.

$90^\circ$ .

Câu 9 : Dây lớn nhất của đường tròn $\left( {O;3cm} \right)$ có độ dài bằng

A.

8cm.
B.

6cm.
C.

4cm.
D.

3cm.

Câu 10 : Cho hình vẽ. Chọn khẳng định đúng.

A.

Hai đường tròn $\left( I \right)$ và $\left( {I{}'} \right)$ tiếp xúc trong.
B.

Hai đường tròn $\left( I \right)$ và $\left( {I{}'} \right)$ tiếp xúc ngoài.
C.

Hai đường tròn $\left( I \right)$ và $\left( {I{}'} \right)$ cắt nhau.
D.

Hai đường tròn $\left( I \right)$ và $\left( {I{}'} \right)$ không giao nhau.

Câu 11 : Tỉ số giữa độ dài cung $n^\circ$ và độ dài đường tròn (cùng bán kính) bằng

A.

$\frac{n}{{360}}$ .
B.

$\frac{n}{{180}}$ .
C.

$\frac{n}{{120}}$ .
D.

$\frac{n}{{90}}$ .

Câu 12 : Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, BC = 5. Khi đó

A.

AC là tiếp tuyến của đường tròn (B; 3).
B.

AC là tiếp tuyến của đường tròn (C; 4).
C.

BC là tiếp tuyến của đường tròn (A; 3).
D.

AB là tiếp tuyến của đường tròn (C; 3).

II. Tự luận

Câu 1 : Cho biểu thức $P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}} - \frac{{x - 2\sqrt x }}{{x - 4}}$ và $Q = \frac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {x \ge 0;x \ne 4} \right)$

a) Rút gọn P.

b) Tính giá trị của P khi $x = 16$ .

c) Biết $M = P:Q$ . Tìm giá trị của x để ${M^2} < \frac{1}{4}$ .

Câu 2 : Bác An chia số tiền $630$ triệu đồng của mình cho hai khoản đầu tư. Sau một năm lợi nhuận thu về là $157$ triệu đồng. Lợi nhuận của khoản đầu tư thứ nhất là $10\%$ , lợi nhuận của khoản đầu tư thứ hai là $30\%$ . Tính số tiền bác An đầu tư cho mỗi khoản?

Câu 3 : Một tấm bìa tạo bởi năm đường tròn đồng tâm lần lượt có bán kính $5{\rm{cm}}$ , ${\rm{10cm}}$ , $15{\rm{cm}}$ , $20{\rm{cm}}$ và $30{\rm{cm}}$ . Giả thiết rằng người chơi ném phi tiêu một cách ngẫu nhiên và luôn trúng bia. Tính xác suất ném trúng vòng 9 (hình vành khuyên nằm giữa đường tròn thứ nhất và thứ hai). Biết rằng xác suất cần tìm bằng tỉ số giữa diện tích của hình vành khuyên tương ứng với diện tích của hình tròn lớn nhất.

Câu 4 : Cho đường tròn $(O)$ , đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn $(O')$ có đường kính CB.

a) Kẻ dây DE của đường tròn $(O)$ vuông góc với AC tại trung điểm H của AC. Tứ giác ADCE là hình gì? Vì sao?

b) Gọi K là giao điểm của DB và đường tròn $(O')$ . Chứng minh rằng ba điểm E, C, K thẳng hàng;

c) Chứng minh HK là tiếp tuyến của đường tròn $(O')$ .

Câu 5 : Vinasat-1 là vệ tinh viễn thông địa tĩnh đầu tiên của Việt Nam được phóng vào vũ trụ lúc 22 giờ 17 phút ngày 18 tháng 4 năm 2008 (giờ UTC). Dự án vệ tinh Vinasat-1 đã khởi động từ năm 1998 với tổng mức đầu tư là khoảng hơn 300 triệu USD. Việt Nam đã tiến hành đàm phán với 27 quốc gia và vùng lãnh thổ để có được vị trí 132 độ Đông trên quỹ đạo địa tĩnh.

Hãy tìm khoảng cách từ vệ tinh Vinasat-1 đến mặt đất. Biết rằng khi vệ tinh phát tín hiệu vô tuyến đến một điểm xa nhất trên mặt đất thì từ lúc phát tín hiệu đến mặt đất cho đến lúc vệ tinh thu lại được tín hiệu phản hồi mất khoảng thời gian là 0,28s. Trái đất được xem như một hình cầu có bán kính khoảng 6400km (ghi kết quả gần đúng chính xác đến hàng đơn vị), giả sử vận tốc sóng vô tuyến là ${3.10^8}$ m/s.

Lời giải và đáp án

I. Trắc nghiệm

Phần trắc nghiệm (3 điểm) Chọn câu trả lời đúng trong mỗi câu sau:

A.

$\left( {2;2} \right)$ .
B.

$\left( { - 1; - 2} \right)$ .
C.

$\left( {1;2} \right)$ .
D.

$\left( {2; - 2} \right)$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Giải hệ phương trình hoặc sử dụng máy tính cầm tay để tính nghiệm của hệ phương trình.

Lời giải chi tiết :

Sử dụng máy tính cầm tay, ta tính được nghiệm của hệ phương trình là $\left( {1;2} \right)$ .

300

Đáp án C

Câu 2 : Điều kiện xác định của phương trình $\frac{{x + 2}}{{x - 4}} + 1 = \frac{1}{{x + 3}}$

A.

$x \ne 4$ và $x \ne 3$ .
B.

$x \ne - 4$ và $x \ne 3$ .
C.

$x \ne 4$ và $x \ne - 3$ .
D.

$x \ne - 4$ và $x \ne - 3$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Điều kiện xác định của phương trình chứa ẩn ở mẫu là mẫu thức khác 0.

Lời giải chi tiết :

Điều kiện xác định của phương trình $\frac{{x + 2}}{{x - 4}} + 1 = \frac{1}{{x + 3}}$ là $x - 4 \ne 0$ và $x + 3 \ne 0$ .

Suy ra $x \ne 4$ và $x \ne - 3$ .

Đáp án C

Câu 3 : Số 3 là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

A.

$5x - 10 \le 0$ .
B.

$2x + 1 > 0$ .
C.

$- 5x + 7 \ge 0$ .
D.

$2x - 5 < 0$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Thay $x = 3$ vào các bất đẳng thức để xác định.

Lời giải chi tiết :

Với $x = 3$ thì $5.3 - 10 = 15 > 0$ nên $x = 3$ không phải nghiệm của $5x - 10 \le 0$ .

Với $x = 3$ thì $2.3 + 1 = 7 > 0$ nên $x = 3$ là nghiệm của $2x + 1 > 0$ .

Với $x = 3$ thì $- 5.3 + 7 = - 8 < 0$ nên $x = 3$ không phải nghiệm của $- 5x + 7 \ge 0$ .

Với $x = 3$ thì $2.3 - 5 = 1 > 0$ nên $x = 3$ không phải nghiệm của $2x - 5 < 0$ .

Đáp án B

Câu 4 : Số nào sau đây có căn bậc hai số học bằng 4?

A.

2.
B.

4.
C.

-2.
D.

16.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Số $x$ có căn bậc hai số học bằng a thì $x = {a^2}$ .

Lời giải chi tiết :

Số có căn bậc hai số học bằng 4 là ${4^2} = 16$ .

Đáp án D

Câu 5 : Căn thức $\sqrt {4 - 2x}$ xác định khi

A.

$x \ge 2$ .
B.

$x \le 2$ .
C.

$x \ge - 2$ .
D.

$x \le - 2$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Căn thức $\sqrt A$ xác định khi $A \ge 0$ .

Lời giải chi tiết :

Căn thức $\sqrt {4 - 2x}$ xác định khi $4 - 2x \ge 0$ suy ra $x \le 2$ .

Đáp án B

Câu 6 : Sau khi rút gọn biểu thức $\frac{2}{{2 - \sqrt 3 }} + \frac{2}{{2 + \sqrt 3 }}$ ta được phân số tối giản $\frac{a}{b}$ , giá trị $a + b$ là

A.

10.
B.

9.
C.

8.
D.

7.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Rút gọn biểu thức bằng cách trục căn thức, sau đó tính tổng a + b.

Lời giải chi tiết :

$\frac{2}{{2 - \sqrt 3 }} + \frac{2}{{2 + \sqrt 3 }} = \frac{{2\left( {2 + \sqrt 3 } \right) + 2\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}} = \frac{{4 + 2\sqrt 3 + 4 - 2\sqrt 3 }}{{4 - 3}} = \frac{8}{1}$ .

Suy ra $a + b = 8 + 1 = 9$ .

Đáp án B

Câu 7 : Giá trị của biểu thức $A = \sqrt {25} .\sqrt 9 - \sqrt[3]{{ - 27}}$ là

A.

12.
B.

15.
C.

18.
D.

21.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất của căn bậc hai, căn bậc ba để tính.

Lời giải chi tiết :

$A = \sqrt {25} .\sqrt 9 - \sqrt[3]{{ - 27}} = 5.3 - \left( { - 3} \right) = 15 + 3 = 18$

Đáp án C

Câu 8 : Tam giác ABC vuông tại A có AC = 6cm; BC = 12cm. Số đo góc ACB bằng

A.

$30^\circ$ .
B.

$45^\circ$ .
C.

$60^\circ$ .
D.

$90^\circ$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về tỉ số lượng giác và tìm số đo góc khi biết tỉ số lượng giác.

Lời giải chi tiết :

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào tam giác ABC, ta có:

$\cos ACB = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{6}{{12}} = \frac{1}{2}$ suy ra $\widehat {ACB} = 60^\circ$ .

Đáp án C

Câu 9 : Dây lớn nhất của đường tròn $\left( {O;3cm} \right)$ có độ dài bằng

A.

8cm.
B.

6cm.
C.

4cm.
D.

3cm.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Trong một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất.

Lời giải chi tiết :

Dây lớn nhất của đường tròn là đường kính, do đó độ dài là 3.2 = 6cm.

Đáp án B

Câu 10 : Cho hình vẽ. Chọn khẳng định đúng.

A.

Hai đường tròn $\left( I \right)$ và $\left( {I{}'} \right)$ tiếp xúc trong.
B.

Hai đường tròn $\left( I \right)$ và $\left( {I{}'} \right)$ tiếp xúc ngoài.
C.

Hai đường tròn $\left( I \right)$ và $\left( {I{}'} \right)$ cắt nhau.
D.

Hai đường tròn $\left( I \right)$ và $\left( {I{}'} \right)$ không giao nhau.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Quan sát hình vẽ để xác định.

Lời giải chi tiết :

Hai đường tròn $\left( I \right)$ và $\left( {I{}'} \right)$ có hai điểm chung nên chúng cắt nhau.

Đáp án C

Câu 11 : Tỉ số giữa độ dài cung $n^\circ$ và độ dài đường tròn (cùng bán kính) bằng

A.

$\frac{n}{{360}}$ .
B.

$\frac{n}{{180}}$ .
C.

$\frac{n}{{120}}$ .
D.

$\frac{n}{{90}}$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính độ dài cung tròn và độ dài đường tròn.

Độ dài cung tròn $n^\circ$ : $l = \frac{{n\pi R}}{{180}}$

Độ dài đường tròn: $C = 2\pi R$

Lời giải chi tiết :

Tỉ số giữa độ dài cung $n^\circ$ và độ dài đường tròn (cùng bán kính) bằng:

$\frac{l}{C} = \frac{{n\pi R}}{{180}}:2\pi R = \frac{{n\pi R}}{{360\pi R}} = \frac{n}{{360}}$ .

Đáp án A

Câu 12 : Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, BC = 5. Khi đó

A.

AC là tiếp tuyến của đường tròn (B; 3).
B.

AC là tiếp tuyến của đường tròn (C; 4).
C.

BC là tiếp tuyến của đường tròn (A; 3).
D.

AB là tiếp tuyến của đường tròn (C; 3).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng định lí Pythagore đảo và tính chất tiếp tuyến để kiểm tra.

Lời giải chi tiết :

Tam giác ABC có: $A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = {5^2} = B{C^2}$ nên tam giác ABC vuông tại A (theo định lí Pythagore đảo).

Suy ra AB vuông góc với AC tại A. Mà A thuộc đường tròn (B; AB) hay (B; 3).

Do đó AC là tiếp tuyến của đường tròn (B; 3).

Đáp án A

II. Tự luận

a) Rút gọn P.

b) Tính giá trị của P khi $x = 16$ .

c) Biết $M = P:Q$ . Tìm giá trị của x để ${M^2} < \frac{1}{4}$ .

Phương pháp giải :

a) Rút gọn phân thức trước rồi rút gọn biểu thức.

b) Thay $x = 16$ vào P để tính giá trị.

c) Tìm M thay vào ${M^2} < \frac{1}{4}$ để tìm x, lưu ý điều kiện đầu bài.

Lời giải chi tiết :

a) Ta có:

$P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}} - \frac{{x - 2\sqrt x }}{{x - 4}}$

$P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 2} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 2} \right)}}$

$P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}$

$P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}}$ .

b) Thay $x = 16$ vào P, ta được:

$P = \frac{{\sqrt {16} }}{{\sqrt {16} - 2}} = \frac{4}{{4 - 2}} = \frac{4}{2} = 2$ .

Vậy với $x = 16$ thì $P = 2$ .

c) Ta có:

$M = P:Q = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}}:\frac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}}{\mkern 1mu}$

$= \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}}.\frac{{\sqrt x {\rm{\;}} - 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}$

Vì ${M^2} < \frac{1}{4}$ nên ${\left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}} \right)^2} < \frac{1}{4}$ . Suy ra $\left| {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}} \right| < \frac{1}{2}$

Vì $\sqrt x > 0$ nên $\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}} > 0$

Do đó $\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 2}} < \frac{1}{2}$

$2\sqrt x {\rm{\;}} < \sqrt x {\rm{\;}} + 2$

$\sqrt x {\rm{\;}} < 2$

$x < 4$

Kết hợp điều kiện $x \ge 0;x \ne 4$ ta được $0 \le x < 4$ .

Vậy để ${M^2} < \frac{1}{4}$ thì $0 \le x < 4$ .

Phương pháp giải :

Gọi số tiền đầu tư cho mỗi khoản lần lượt là $x,y$ ( $x,y \in {\mathbb{N}^*};x,y \le 630$ )

Lập hệ phương trình với x và y.

Từ đó giải hệ phương trình.

Lời giải chi tiết :

Gọi số tiền đầu tư cho mỗi khoản lần lượt là $x,y$ ( $x,y \in {\mathbb{N}^*};x,y \le 630$ )

Vì bác An chia số tiền $630$ triệu đồng của mình cho hai khoản đầu tư nên $x + y = 630$ (triệu đồng)

Vì lợi nhuận của khoản đầu tư thứ nhất là $10\%$ , lợi nhuận của khoản đầu tư thứ hai là $30\%$ và sau một năm lợi nhuận thu về là $157$ triệu đồng nên $10\% x + 30\% y = 157$ hay $0,1x + 0,3y = 157$

Ta có hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 630}\\{0,1x + 0,3y = 157}\end{array}} \right.$

Giải hệ phương trình:

$\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 630}\\{0,1x + 0,3y = 157}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 630}\\{x + 3y = 1570}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 630}\\{2y = 940}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 630}\\{y = 470}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 160(TM)}\\{y = 470(TM)}\end{array}} \right.\end{array}$

Vậy khoản đầu tư thứ nhất là $160$ triệu đồng, khoản đầu tư thứ hai là $470$ triệu đồng.

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính diện tích hình vành khuyên để tính diện tích hình vành khuyên nằm giữa đường tròn thứ nhất và thứ hai: ${S_{vk}} = \pi \left( {{R^2} - {r^2}} \right)$ với $R > r$ .

Sử dụng công thức tính diện tích hình tròn để tính diện tích hình tròn lớn nhất: $S = \pi {r^2}$

Tính tỉ số giữa diện tích của hình vành khuyên tương ứng với diện tích của hình tròn lớn nhất

Lời giải chi tiết :

Vì bán kính của đường tròn thứ nhất và thứ hai lần lượt là 5cm và 10cm nên diện tích hình vành khuyên nằm giữa đường tròn thứ nhất và thứ hai là:

${S_{vk}} = \pi \left( {{{10}^2} - {5^2}} \right) = 75\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$

Vì hình tròn lớn nhất có bán kính là 30cm nên diện tích hình tròn lớn nhất:

$S = {30^2} \cdot \pi = 900\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$

Xác suất ném trúng vòng 9 là: $\frac{{{S_{vk}}}}{S} = \frac{{75\pi }}{{900\pi }} = \frac{1}{{12}}$

Vậy xác suất ném trúng vòng 9 là $\frac{1}{{12}}$ .

Câu 4 : Cho đường tròn $(O)$ , đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn $(O')$ có đường kính CB.

a) Kẻ dây DE của đường tròn $(O)$ vuông góc với AC tại trung điểm H của AC. Tứ giác ADCE là hình gì? Vì sao?

b) Gọi K là giao điểm của DB và đường tròn $(O')$ . Chứng minh rằng ba điểm E, C, K thẳng hàng;

c) Chứng minh HK là tiếp tuyến của đường tròn $(O')$ .

Phương pháp giải :

a) Chứng minh $\Delta ODH = \Delta OEH\left( {ch - cgv} \right)$ suy ra DH = HE

Tứ giác có hai đường chéo vuông góc tại trung điểm của mỗi đường là hình thoi.

b) Chứng minh $EC \bot DB$ và $CK \bot DB$ nên E, C, K thẳng hàng (tiên đề Euclid).

c) Chứng minh $\widehat {HKE} = \widehat {HEK}$ và $\widehat {O'KC} = \widehat {HCE}$ , suy ra $\widehat {HKE} + \widehat {O'KC} = 90^\circ$ nên $\widehat {HKO'} = 90^\circ$ .

Lời giải chi tiết :

a) Xét $\Delta ODH$ và $\Delta OEH$ có:

$\begin{array}{l}\widehat {OHD} = \widehat {OHE} = 90^\circ \\OD = OE = R\\OH\,{\rm{chung}}\end{array}$

Suy ra $\Delta ODH = \Delta OEH\left( {ch - cgv} \right)$

Do đó DH = HE (hai cạnh tương ứng).

Mà $H \in DE$ suy ra H là trung điểm của BE.

Tứ giác ADCE có H là trung điểm của hai đường chéo DE, AC và $AC \bot DE$ tại H nên tứ giác ADCE là hình thoi.

b) Ta có $AD \bot DB$ (Vì AB là đường kính của $(O)$ và $D \in (O)$ ) nên suy ra $EC \bot DB$ (1) (Vì tứ giác ADCE là hình thoi).

Lại có $CK \bot KB$ (Vì CB là đường kính của $(O')$ và $K \in (O')$ ) hay $CK \bot DB$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra E, C, K thẳng hàng (tiên đề Euclid).

c) Xét $\Delta DKE$ vuông tại K có KH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên $HK = HE = \frac{1}{2}DE$ .

Suy ra $\Delta HKE$ cân tại H, do đó $\widehat {HKE} = \widehat {HEK}$ .

Lại có $\widehat {O'KC} = \widehat {O'CK}$ (tam giác O’CK cân tại O’) và $\widehat {O'CK} = \widehat {HCE}$ (2 góc đối đỉnh) do đó $\widehat {O'KC} = \widehat {HCE}$ .

Mà $\widehat {HEK} + \widehat {HCE} = 90^\circ$ (hai góc phụ nhau) nên $\widehat {HKE} + \widehat {O'KC} = 90^\circ$ , suy ra $\widehat {HKO'} = 90^\circ$