Đề thi toán 8, đề kiểm tra toán 8 có đáp án và lời giải chi tiết

Đề kiểm tra học kì 2 Toán 8 - Đề số 5

Làm đề thi

Đề bài

Câu 1 :

Các kích thước của hình hộp chữ nhật $ABC{\rm{D}}.A'B'C'D'$ là $DC = 6cm$ , $CB = 3cm$ . Hỏi độ dài của $A'B'$ và $AD$ là bao nhiêu $cm$ ?

A.

$3\,cm$ và $6\,cm$
B.

$6\,cm$ và $9\,cm$
C.

$6\,cm$ và $3\,cm$
D.

$9\,cm$ và $6\,cm$

Câu 2 :

Hãy chọn câu sai. Cho hình vẽ với $AB<AC$:

A.

$\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{AE}}{{AC}} \Rightarrow DE//BC$.
B.

$\dfrac{{AD}}{{DB}} = \dfrac{{AE}}{{EC}} \Rightarrow DE//BC$.
C.

$\dfrac{{AB}}{{DB}} = \dfrac{{AC}}{{EC}} \Rightarrow DE//BC$.
D.

$\dfrac{{AD}}{{DE}} = \dfrac{{AE}}{{ED}} \Rightarrow DE//BC$.

Câu 3 :

Cho $a + 8 < b$. So sánh $a - 7$ và $b - 15$

A.

$a - 7 < b - 15$
B.

$a - 7 > b - 15$
C.

$a - 7 \ge b - 15$
D.

$a - 7 \le b - 15$

Câu 4 :

Cho tứ giác $ABCD$, lấy bất kỳ $E \in BD$ . Qua $E$ vẽ $EF$ song song với $AD$( $F$ thuộc $AB$), vẽ $EG$ song song với $DC$($G$ thuộc$BC$). Chọn khẳng định sai.

A.

$\dfrac{{BE}}{{ED}} = \dfrac{{BG}}{{GC}}$
B.

$\dfrac{{BF}}{{FA}} = \dfrac{{BG}}{{GC}}$
C.

$FG{\rm{//}}AC$
D.

$FG{\rm{//}}AD$

Câu 5 :

Hai xe khởi hành cùng một lúc, xe thứ nhất đến sớm hơn xe thứ hai $3$ giờ. Nếu gọi thời gian đi của xe thứ nhất là $x$ giờ thì thời gian đi của xe thứ hai là:

A.

$(x - 3)$ giờ
B.

$3x$ giờ
C.

$(3 - x)$ giờ
D.

$(x + 3)$ giờ

Câu 6 :

Hãy chọn câu đúng. Nếu $\Delta ABC$ và $\Delta DEF$ có $\widehat B = \widehat {D;}\,\dfrac{{BA}}{{BC}} = \dfrac{{DE}}{{DF}}$ thì:

A.

$\Delta ABC$ đồng dạng với $\Delta DEF$
B.

$\Delta ABC$ đồng dạng với $\Delta EDF$
C.

$\Delta BCA$ đồng dạng với $\Delta DEF$
D.

$\Delta ABC$ đồng dạng với $\Delta FDE$

Câu 7 :

Cho hình vẽ, trong đó $DE{\rm{//}}BC$, $AD = 12,\,\,DB = 18,\,\,CE = 30$. Độ dài $AC$ bằng:

A.

$20$
B.

$\dfrac{{18}}{{25}}$
C.

$50$
D.

$45$

Câu 8 :

Cho $a > b$ khi đó

A.

$a - b > 0$
B.

$a - b < 0$
C.

$a - b = 0$
D.

$a - b \le 0$

Câu 9 :

Nghiệm của bất phương trình $7(3x + 5) > 0$ là:

A.

$x > \dfrac{3}{5}$
B.

$x \le - \dfrac{5}{3}$
C.

$x \ge - \dfrac{5}{3}$
D.

$x > - \dfrac{5}{3}$.

Câu 10 :

Phương trình ${x^2} + x = 0$ có số nghiệm là

A.

1 nghiệm
B.

2 nghiệm
C.

vô nghiệm
D.

vô số nghiệm

Câu 11 :

Hãy chọn câu đúng. Hình hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là: $a$, $2a$, $\dfrac{a}{2}$ thể tích của hình hộp chữ nhật đó là:

A.

${a^2}$
B.

$4{a^2}$
C.

$2{a^4}$
D.

${a^3}$

Câu 12 :

Thể tích của hình chóp tứ giác đều có chiều cao $6$ cm, cạnh đáy $4$ cm là

A.

$32\,c{m^3}$
B.

$24\,c{m^3}$
C.

$144\,c{m^3}$
D.

$96\,c{m^3}$

Câu 13 :

Tính diện tích toàn phần hình chóp tứ giác đều dưới đây:

A.

$600\;c{m^2}$
B.

$700\;c{m^2}$
C.

$800\;c{m^2}$
D.

$900\;c{m^2}$

Câu 14 :

Cho $\Delta DHE \backsim\Delta ABC$ với tỉ số đồng dạng $\dfrac{2}{3}$. Có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

(I) Tỉ số hai đường cao tương ứng của $\Delta DHE$ và $\Delta ABC$ là $\dfrac{2}{3}$.

(II) Tỉ số hai đường cao tương ứng của $\Delta ABC$ và $\Delta DHE$ là $\dfrac{2}{3}$.

(III) Tỉ số diện tích của $\Delta ABC$ và $\Delta DHE$ là $\dfrac{2}{3}$.

(IV) Tỉ số diện tích của $\Delta DHE$ và $\Delta ABC$ là $\dfrac{4}{9}$.

A.

$2$
B.

$1$
C.

$3$
D.

$4$

Câu 15 :

Phương trình $\dfrac{x}{{x - 5}} - \dfrac{3}{{x - 2}} = 1$ có nghiệm là

A.

$x = - \dfrac{1}{2}$
B.

$x = \dfrac{5}{2}$
C.

$x = \dfrac{1}{2}$
D.

$x = - \dfrac{5}{2}$

Câu 16 :

Cho $a,b$ bất kì. Chọn câu đúng.

A.

$\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} < ab$
B.

$\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \le ab$
C.

$\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \ge ab$
D.

$\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} > ab$

Câu 17 :

Với giá trị nào của $m$ thì bất phương trình $m(2x + 1) < 8$ là bất phương trình bậc nhất một ẩn?

A.

$m \ne 1$
B.

$m \ne - \dfrac{1}{3}$
C.

$m \ne 0$
D.

$m \ne 8$.

Câu 18 :

Tổng các nghiệm của phương trình $\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x + 6} \right)\left( {x - 8} \right) = 0$ là:

A.

$1$
B.

$2$
C.

$3$
D.

$4$

Câu 19 :

Chọn khẳng định đúng.

A.

Phương trình $8x\left( {3x - 5} \right) = 6\left( {3x - 5} \right)$có hai nghiệm trái dấu
B.

Phương trình $8x\left( {3x - 5} \right) = 6\left( {3x - 5} \right)$có hai nghiệm cùng dương
C.

Phương trình $8x\left( {3x - 5} \right) = 6\left( {3x - 5} \right)$có hai nghiệm cùng âm
D.

Phương trình $8x\left( {3x - 5} \right) = 6\left( {3x - 5} \right)$có một nghiệm duy nhất

Câu 20 :

Cho phương trình $\left( 1 \right)$: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{x - 2}} = 0$ và phương trình $\left( 2 \right)$: $\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} - \dfrac{x}{{x - 2}} = \dfrac{{5x - 2}}{{4 - {x^2}}}$. Khẳng định nào sau đây là đúng.

A.

Hai phương trình có cùng điều kiện xác định.
B.

Hai phương trình có cùng số nghiệm
C.

Phương trình $\left( 2 \right)$ có nhiều nghiệm hơn phương trình $\left( 1 \right)$
D.

Hai phương trình tương đương

Câu 21 :

Biết ${x_0}$ là nghiệm nhỏ nhất của phương trình

$\dfrac{1}{{{x^2} + 4x + 3}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 8x + 15}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 12x + 35}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 16x + 63}} = \dfrac{1}{5}.$ Chọn khẳng định đúng.

A.

${x_0} > 0$
B.

${x_0} < - 5$
C.

${x_0} = - 10$
D.

${x_0} > 5$

Câu 22 :

Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số $1$ vào đằng trước ta được số $A$ có năm chữ số, nếu viết them chữ số $4$ vào đằng sau ta được số $B$ có năm chữ số, trong đó $B$ gấp bốn lần $A$ .

A.

$6789$
B.

$6666$
C.

$6699$
D.

$9999$

Câu 23 :

Một tổ sản xuất theo kế hoạch mỗi ngày phải sản xuất $50$ sản phầm. Khi thực hiện tổ đã sản xuất được $57$ sản phẩm một ngày. Do đó hoàn thành trước kế hoạch $1$ ngày và còn vượt mức $13$ sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm?

A.

$550$
B.

$400$
C.

$600$
D.

$500$

Câu 24 :

Phương trình $\dfrac{{x - 1}}{2} + \dfrac{{x - 1}}{3} - \dfrac{{x - 1}}{6} = 2$ có tập nghiệm là

A.

$S = \left\{ {0;1} \right\}$
B.

$S = \left\{ 4 \right\}$
C.

$S = \emptyset $
D.

$S = \mathbb{R}$

Câu 25 :

Với $a,b$ bất kỳ. Chọn khẳng định sai.

A.

${a^2} + 5 > 4a$
B.

${a^2} + 10 < 6a - 1$
C.

${a^2} + 1 > a$
D.

$ab - {b^2} \le {a^2}$

Câu 26 :

Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi $a > 0,b > 0:$

A.

${a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b < 0$
B.

${a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b \ge 0$
C.

${a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b \le 0$
D.

${a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b > 0$

Câu 27 :

Số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình $x(5x + 1) + 4(x + 3) > 5{x^2}$ là

A.

$x = - 3$
B.

$x = 0$
C.

$x = - 1$
D.

$x = - 2$.

Câu 28 :

Tích các nghiệm của phương trình $|{x^2} + 2x - 1| = 2$ là

A.

$3$
B.

$ - 3$
C.

$1$
D.

$ - 1$.

Câu 29 :

Chọn câu trả lời đúng: Cho hình bên, biết $DE{\rm{//}}AC$, tìm $x$ :

A.

$x = 6,5$
B.

$x = 6,25$
C.

$x = 5$
D.

$x = 8$

Câu 30 :

Giải phương trình ${\left| {x - 3y} \right|^{2017}} + {\left| {y + 4} \right|^{2018}} = 0$ ta được nghiệm $\left( {x;y} \right)$. Khi đó $y - x$ bằng

A.

$ - 16$
B.

$ - 8$
C.

$16$
D.

$8$.

Câu 31 :

Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến, N là điểm trên đoạn thẳng AM. Gọi D là giao điểm của CN và AB, E là giao điểm của BN và AC. Chọn khẳng định đúng nhất.

A.

$DE{\rm{//}}BC$
B.

$\dfrac{{AD}}{{BD}} = \dfrac{{AE}}{{CE}}$
C.

Cả A, B đều đúng
D.

Cả A, B đều sai

Câu 32 :

Tích các nghiệm của phương trình: $\left( {{x^2} - 3x + 3} \right)\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) = 2{x^2}$ là

A.

$ - 2$
B.

$2$
C.

$4$
D.

$3$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Các kích thước của hình hộp chữ nhật $ABC{\rm{D}}.A'B'C'D'$ là $DC = 6cm$ , $CB = 3cm$ . Hỏi độ dài của $A'B'$ và $AD$ là bao nhiêu $cm$ ?

A.

$3\,cm$ và $6\,cm$
B.

$6\,cm$ và $9\,cm$
C.

$6\,cm$ và $3\,cm$
D.

$9\,cm$ và $6\,cm$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Từ kiến thức lý thuyết về hình hộp chữ nhật kết hợp với tính chất của hình chữ nhật để giải bài toán và chọn đáp án đúng.

Lời giải chi tiết :

Vì $ABC{\rm{D}}.A'B'C'D'$ là hình hộp chữ nhật nên $ABCD,$ $ABB'A'$ là hình chữ nhật.

Xét hình chữ nhật $ABCD$ có: $AD = BC = 3cm,DC = AB = 6cm$

Xét hình chữ nhật $ABB'A'$ có: $A'B' = AB = 6\;cm$

Vậy $A'B'$ và $AD$ lần lượt dài $6 cm$ và $3 cm.$

Câu 2 :

Hãy chọn câu sai. Cho hình vẽ với $AB<AC$:

A.

$\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{AE}}{{AC}} \Rightarrow DE//BC$.
B.

$\dfrac{{AD}}{{DB}} = \dfrac{{AE}}{{EC}} \Rightarrow DE//BC$.
C.

$\dfrac{{AB}}{{DB}} = \dfrac{{AC}}{{EC}} \Rightarrow DE//BC$.
D.

$\dfrac{{AD}}{{DE}} = \dfrac{{AE}}{{ED}} \Rightarrow DE//BC$.

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Theo định lý đảo của định lý Ta-lét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

Nên D sai.

Câu 3 :

Cho $a + 8 < b$. So sánh $a - 7$ và $b - 15$

A.

$a - 7 < b - 15$
B.

$a - 7 > b - 15$
C.

$a - 7 \ge b - 15$
D.

$a - 7 \le b - 15$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất: Cộng cả hai vế với một số thì dấu không đổi để làm xuất hiện $a - 7$ và $b - 15$

Lời giải chi tiết :

Cộng cả hai vế của bất đẳng thức $a + 8 < b$ với $\left( { - 15} \right)$ ta được

$a + 8 < b \Rightarrow a + 8 - 15 < b - 15 \Rightarrow a - 7 < b - 15$

Câu 4 :

A.

$\dfrac{{BE}}{{ED}} = \dfrac{{BG}}{{GC}}$
B.

$\dfrac{{BF}}{{FA}} = \dfrac{{BG}}{{GC}}$
C.

$FG{\rm{//}}AC$
D.

$FG{\rm{//}}AD$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng định lý Ta-lét và định lý Ta-lét đảo để suy ra các hệ thức đúng.

Lời giải chi tiết :

Áp dụng định lí Ta-lét trong $\Delta ABD$ với $EF{\rm{//}}AD$, ta có $\dfrac{{BE}}{{ED}} = \dfrac{{BF}}{{FA}}$. (1)

Áp dụng định lí Ta-lét trong$\Delta BDC$ với $EG{\rm{//}}DC$, ta có $\dfrac{{BE}}{{ED}} = \dfrac{{BG}}{{GC}}$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra$\dfrac{{BF}}{{FA}} = \dfrac{{BG}}{{GC}}$, do đó $FG{\rm{//}}AC$(định lí Ta-lét đảo).

Vậy A, B, C đúng, D sai.

Câu 5 :

A.

$(x - 3)$ giờ
B.

$3x$ giờ
C.

$(3 - x)$ giờ
D.

$(x + 3)$ giờ

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

Lời giải chi tiết :

Vì hai xe khởi hành cùng một lúc, xe thứ nhất đến sớm hơn xe thứ hai $3$ giờ nên thời gian xe thứ hai đi nhiều hơn xe thứ nhất $3$ giờ.

Nếu thời gian đi của xe thứ nhất là $x$ giờ thì thời gian đi của xe thứ hai là $x + 3$ giờ.

Câu 6 :

Hãy chọn câu đúng. Nếu $\Delta ABC$ và $\Delta DEF$ có $\widehat B = \widehat {D;}\,\dfrac{{BA}}{{BC}} = \dfrac{{DE}}{{DF}}$ thì:

A.

$\Delta ABC$ đồng dạng với $\Delta DEF$
B.

$\Delta ABC$ đồng dạng với $\Delta EDF$
C.

$\Delta BCA$ đồng dạng với $\Delta DEF$
D.

$\Delta ABC$ đồng dạng với $\Delta FDE$

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

$\Delta ABC$ và $\Delta DEF$ có $\widehat B = \widehat {D;}\,\dfrac{{BA}}{{BC}} = \dfrac{{DE}}{{DF}}$ thì $\Delta ABC$ đồng dạng với $\Delta EDF$

Câu 7 :

Cho hình vẽ, trong đó $DE{\rm{//}}BC$, $AD = 12,\,\,DB = 18,\,\,CE = 30$. Độ dài $AC$ bằng:

A.

$20$
B.

$\dfrac{{18}}{{25}}$
C.

$50$
D.

$45$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng định lý Ta-lét tính $AE$ từ đó tính $AC$ .

Lời giải chi tiết :

Vì $DE{\rm{//}}BC$, theo định lý Ta-lét ta có $\dfrac{{AD}}{{BD}} = \dfrac{{AE}}{{EC}} \Leftrightarrow \dfrac{{12}}{{18}} = \dfrac{{AE}}{{30}}$$ \Rightarrow EA = \dfrac{{30.12}}{{18}} = 20\,cm$

Nên $AC = AE + EC = 50\,cm$

Câu 8 :

Cho $a > b$ khi đó

A.

$a - b > 0$
B.

$a - b < 0$
C.

$a - b = 0$
D.

$a - b \le 0$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng: Nếu cộng cả hai vế với cùng một số thì bất đẳng thức không đổi chiều.

Lời giải chi tiết :

Từ $a > b$, cộng $ - b$ vào hai vế ta được $a - b > b - b,$ tức là $a - b > 0$.

Câu 9 :

Nghiệm của bất phương trình $7(3x + 5) > 0$ là:

A.

$x > \dfrac{3}{5}$
B.

$x \le - \dfrac{5}{3}$
C.

$x \ge - \dfrac{5}{3}$
D.

$x > - \dfrac{5}{3}$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Giải bất phương trình tìm nghiệm phù hợp bằng cách dùng qui tắc nhân và qui tắc chuyển vế

Lời giải chi tiết :

Vì $7 > 0$ nên $7\left( {3x + 5} \right) \ge 3 \Leftrightarrow 3x + 5 > 0 \Leftrightarrow 3x > - 5 \Leftrightarrow x > - \dfrac{5}{3}.$

Câu 10 :

Phương trình ${x^2} + x = 0$ có số nghiệm là

A.

1 nghiệm
B.

2 nghiệm
C.

vô nghiệm
D.

vô số nghiệm

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Vế trái đặt nhân tử chung rồi đưa phương trình về dạng phương trình tích $A.B=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.$

Từ đó tìm $x$.

Lời giải chi tiết :

${x^2} + x = 0 \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\end{array} \right.$

Vậy phương trình có 2 nghiệm $x=-1;x=0$

Câu 11 :

Hãy chọn câu đúng. Hình hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là: $a$, $2a$, $\dfrac{a}{2}$ thể tích của hình hộp chữ nhật đó là:

A.

${a^2}$
B.

$4{a^2}$
C.

$2{a^4}$
D.

${a^3}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức thể tích của hình hộp chữ nhật $V = abc$ ($a,b,c$ là các kích thước của hình hộp chữ nhật)

Lời giải chi tiết :

Thể tích của hình hộp chữ nhật là $V = a.2a.\dfrac{a}{2} = {a^3}$ (đvtt)

Câu 12 :

Thể tích của hình chóp tứ giác đều có chiều cao $6$ cm, cạnh đáy $4$ cm là

A.

$32\,c{m^3}$
B.

$24\,c{m^3}$
C.

$144\,c{m^3}$
D.

$96\,c{m^3}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính thể tích hình chóp đều

Thể tích của hình chóp đều bằng $\dfrac{1}{3}$ diện tích đáy nhân với chiều cao $V = \dfrac{1}{3}S.h$

( $S$ là diện tích đáy, $h$ là chiều cao)

Lời giải chi tiết :

Đáy của chóp tứ giác đều là hình vuông nên diện tích đáy là $S = {4^2} = 16\,c{m^2}$ .

Thể tích cần tìm là $V = \dfrac{1}{3}.6.16 = 32\,c{m^3}$ .

Câu 13 :

Tính diện tích toàn phần hình chóp tứ giác đều dưới đây:

A.

$600\;c{m^2}$
B.

$700\;c{m^2}$
C.

$800\;c{m^2}$
D.

$900\;c{m^2}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Vận dụng công thức tính diện tích toàn phần của hình chóp đều.

${S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_đ}.$

Lời giải chi tiết :

Mỗi mặt bên của hình chóp là tam giác có chiều cao 10 cm và cạnh đáy 20 cm.

Diện tích một mặt bên của hình chóp là $\dfrac{1}{2}.10.20=100\, (cm^2)$

Diện tích xung quanh hình chóp là $S_{xq}=4.100=400\, (cm^2)$

$S_{tp} = S_{xq} + S_{đáy} =$ $400 + 20.20 = 800\;c{m^2}$

Câu 14 :

Cho $\Delta DHE \backsim\Delta ABC$ với tỉ số đồng dạng $\dfrac{2}{3}$. Có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

(I) Tỉ số hai đường cao tương ứng của $\Delta DHE$ và $\Delta ABC$ là $\dfrac{2}{3}$.

(II) Tỉ số hai đường cao tương ứng của $\Delta ABC$ và $\Delta DHE$ là $\dfrac{2}{3}$.

(III) Tỉ số diện tích của $\Delta ABC$ và $\Delta DHE$ là $\dfrac{2}{3}$.

(IV) Tỉ số diện tích của $\Delta DHE$ và $\Delta ABC$ là $\dfrac{4}{9}$.

A.

$2$
B.

$1$
C.

$3$
D.

$4$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng tỉ số đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng.

Nếu hai tam giác đồng dạng thì:

+ Tỉ số hai đường cao tương ứng bằng tỉ số đồng dạng;

+ Tỉ số hai diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Vì $\Delta DHE\backsim\Delta ABC$ với tỉ số đồng dạng $\dfrac{2}{3}$ nên tỉ số hai đường cao tương ứng của $\Delta DHE$ và $\Delta ABC$ là $\dfrac{2}{3}$ và tỉ số diện tích của $\Delta DHE$ và $\Delta ABC$ là ${\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^2} = \dfrac{4}{9}$

Do đó (I) và (IV) đúng, (II) và (III) sai.

Câu 15 :

Phương trình $\dfrac{x}{{x - 5}} - \dfrac{3}{{x - 2}} = 1$ có nghiệm là

A.

$x = - \dfrac{1}{2}$
B.

$x = \dfrac{5}{2}$
C.

$x = \dfrac{1}{2}$
D.

$x = - \dfrac{5}{2}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Tìm ĐKXĐ của phương trình.

+ Quy đồng mẫu rồi khử mẫu.

+ Giải phương trình vừa nhận được.

+ Đối chiếu điều kiện rồi kết luận nghiệm.

Lời giải chi tiết :

ĐKXĐ: $x \ne 2;x \ne 5$

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{x}{{x - 5}} - \dfrac{3}{{x - 2}} = 1\,\\ \Leftrightarrow \dfrac{x}{{x - 5}} - \dfrac{3}{{x - 2}} - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x\left( {x - 2} \right) - 3\left( {x - 5} \right) - 1\left( {x - 2} \right)\left( {x - 5} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 5} \right)}} = 0\\ \Rightarrow x\left( {x - 2} \right) - 3\left( {x - 5} \right) - 1\left( {x - 2} \right)\left( {x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3x + 15 - {x^2} + 7x - 10 = 0\\ \Leftrightarrow 2x + 5 = 0\\ \Leftrightarrow 2x = - 5 \Leftrightarrow x = - \dfrac{5}{2}\left( {tmdk} \right).\end{array}$

Câu 16 :

Cho $a,b$ bất kì. Chọn câu đúng.

A.

$\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} < ab$
B.

$\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \le ab$
C.

$\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \ge ab$
D.

$\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} > ab$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+) Xét hiệu $P = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - ab$

+) Đưa về hằng đẳng thức và đánh giá.

Lời giải chi tiết :

Xét hiệu $P = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - ab$ $ = \dfrac{{{a^2} + {b^2} - 2ab}}{2}$ $ = \dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2} \ge 0$ (luôn đúng với mọi $a,\,b$ )

Nên $\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \ge ab$

Câu 17 :

Với giá trị nào của $m$ thì bất phương trình $m(2x + 1) < 8$ là bất phương trình bậc nhất một ẩn?

A.

$m \ne 1$
B.

$m \ne - \dfrac{1}{3}$
C.

$m \ne 0$
D.

$m \ne 8$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Dựa vào định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Bất phương trình dạng $ax + b > 0$ (hoặc $ax + b < 0,ax + b \ge 0,ax + b \le 0$) trong đó $a$ và $b$ là hai số đã cho, $a \ne 0$, gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $m(2x + 1) < 8 \Leftrightarrow 2mx + m < 8 \Leftrightarrow 2mx + m - 8 < 0$.

Vậy để bất phương trình $m\left( {2x + 1} \right) < 8$ là bất phương trình bậc nhất 1 ẩn thì $2mx + m - 8 < 0$ là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Theo định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn thì $a \ne 0$ hay $2m \ne 0$ $\Leftrightarrow m \ne 0$

Câu 18 :

Tổng các nghiệm của phương trình $\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x + 6} \right)\left( {x - 8} \right) = 0$ là:

A.

$1$
B.

$2$
C.

$3$
D.

$4$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Ta sử dụng $A\left( x \right).B\left( x \right).C\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow A\left( x \right) = 0$ hoặc $B\left( x \right) = 0$ hoặc $C\left( x \right) = 0$.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x + 6} \right)\left( {x - 8} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 4 = 0\\x + 6 = 0\\x - 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 4\\x = - 6\\x = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 2\\x = - 6\\x = 8\end{array} \right.$

Tổng các nghiệm của phương trình là $2 + \left( { - 2} \right) + \left( { - 6} \right) + 8 = 2$ .

Câu 19 :

Chọn khẳng định đúng.

A.

Phương trình $8x\left( {3x - 5} \right) = 6\left( {3x - 5} \right)$có hai nghiệm trái dấu
B.

Phương trình $8x\left( {3x - 5} \right) = 6\left( {3x - 5} \right)$có hai nghiệm cùng dương
C.

Phương trình $8x\left( {3x - 5} \right) = 6\left( {3x - 5} \right)$có hai nghiệm cùng âm
D.

Phương trình $8x\left( {3x - 5} \right) = 6\left( {3x - 5} \right)$có một nghiệm duy nhất

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Ta biến đổi phương trình đã cho về dạng $A\left( x \right).B\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow A\left( x \right) = 0$ hoặc $B\left( x \right) = 0$

Lời giải chi tiết :

Ta có $8x\left( {3x - 5} \right) = 6\left( {3x - 5} \right)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 8x\left( {3x - 5} \right) - 6\left( {3x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {8x - 6} \right)\left( {3x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}8x - 6 = 0\\3x - 5 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}8x = 6\\3x = 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{3}{4}\\x = \dfrac{5}{3}\end{array} \right.\end{array}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dương $x = \dfrac{3}{4};\,x = \dfrac{5}{3}$ .

Câu 20 :

A.

Hai phương trình có cùng điều kiện xác định.
B.

Hai phương trình có cùng số nghiệm
C.

Phương trình $\left( 2 \right)$ có nhiều nghiệm hơn phương trình $\left( 1 \right)$
D.

Hai phương trình tương đương

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Giải từng phương trình theo các bước sau và kết luận.

+ Tìm ĐKXĐ của phương trình.

+ Quy đồng mẫu rồi khử mẫu.

+ Giải phương trình vừa nhận được.

+ Đối chiếu điều kiện rồi kết luận nghiệm.

Lời giải chi tiết :

*Xét phương trình $\left( 1 \right)$: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{x - 2}} = 0$

ĐKXĐ: $x \ne 0;x \ne 2$

Khi đó

$\begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{x - 2}} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{1\left( {x - 2} \right) + 2x}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = 0\\ \Rightarrow 1\left( {x - 2} \right) + 2x = 0 \Leftrightarrow x - 2 + 2x = 0\\ \Leftrightarrow 3x = 2 \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}\,\left( {TM} \right)\end{array}$

Vậy phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm duy nhất $x = \dfrac{2}{3}$.

* Xét phương trình $\left( 2 \right)$: $\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} - \dfrac{x}{{x - 2}} = \dfrac{{5x - 2}}{{4 - {x^2}}}$

ĐKXĐ: $x \ne \pm 2$

Khi đó

$\begin{array}{l}\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} - \dfrac{x}{{x - 2}} = \dfrac{{5x - 2}}{{4 - {x^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} - \dfrac{x}{{x - 2}} + \dfrac{{5x - 2}}{{{x^2} - 4}} = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) - x\left( {x + 2} \right) + 5x - 2}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) - x\left( {x + 2} \right) + 5x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 - {x^2} - 2x + 5x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 0x = 0 \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}.\end{array}$

Kết hợp ĐKXĐ ta có phương trình nghiệm đúng với mọi $x \ne \pm 2$.

Do đó phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiều nghiệm hơn phương trình $\left( 1 \right)$.

Câu 21 :

Biết ${x_0}$ là nghiệm nhỏ nhất của phương trình

$\dfrac{1}{{{x^2} + 4x + 3}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 8x + 15}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 12x + 35}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 16x + 63}} = \dfrac{1}{5}.$ Chọn khẳng định đúng.

A.

${x_0} > 0$
B.

${x_0} < - 5$
C.

${x_0} = - 10$
D.

${x_0} > 5$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi sử dụng phương pháp tách hạng tử để giải

$\dfrac{1}{{\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)}} = \dfrac{1}{{b - a}}\left( {\dfrac{1}{{x + a}} - \dfrac{1}{{x + b}}} \right),a \ne b$ .

Sau đó, làm theo các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:

+ Tìm ĐKXĐ của phương trình.

+ Quy đồng mẫu rồi khử mẫu.

+ Giải phương trình vừa nhận được.

+ Đối chiếu điều kiện rồi kết luận nghiệm.

Lời giải chi tiết :

Phân tích các mẫu thành nhân tử sau đó nhân cả 2 vế của phương trình với 2 ta được:

$pt \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x + 7} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {x + 7} \right)\left( {x + 9} \right)}} = \dfrac{1}{5} $

$\Leftrightarrow \dfrac{2}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \dfrac{2}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)}} + \dfrac{2}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x + 7} \right)}} + \dfrac{2}{{\left( {x + 7} \right)\left( {x + 9} \right)}} = \dfrac{2}{5}$

ĐKXĐ: $x \ne - 1; - 3; - 5; - 7; - 9$ .

Khi đó:

$pt \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 3}} + \dfrac{1}{{x + 3}} - \dfrac{1}{{x + 5}} + \dfrac{1}{{x + 5}} - \dfrac{1}{{x + 7}} + \dfrac{1}{{x + 7}} - \dfrac{1}{{x + 9}} = \dfrac{2}{5} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 9}} = \dfrac{2}{5} \Leftrightarrow \dfrac{{1\left( {x + 9} \right) - 1\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 9} \right)}} = \dfrac{{2\left( {x + 1} \right)\left( {x + 9} \right)}}{{5\left( {x + 1} \right)\left( {x + 9} \right)}} $$\Rightarrow 5\left[ {x + 9 - \left( {x + 1} \right)} \right] = 2\left( {x + 1} \right)\left( {x + 9} \right)$$\Leftrightarrow 5\left( {x + 9 - x - 1} \right) = 2{x^2} + 20x + 18$$ \Leftrightarrow 2{x^2} + 20x - 22 = 0$$ \Leftrightarrow {x^2} + 10x - 11 = 0$$ \Leftrightarrow {x^2} - x + 11x - 11 = 0 $$\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 11} \right) = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x + 11 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 11\end{array} \right.\left( {TM} \right)\\ \Rightarrow S = \left\{ {1; - 11} \right\}$

Vậy ${x_0} = - 11 < - 5$ .

Câu 22 :

A.

$6789$
B.

$6666$
C.

$6699$
D.

$9999$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Giải theo các bước sau:

+ Lập phương trình: Chọn ẩn và đặt điều kiện; biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn và đại lượng đã biết; lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

+ Giải phương trình

+ Đối chiếu điều kiện rồi kết luận

Lời giải chi tiết :

Gọi số phải tìm $\overline {abcd} $ là $x$ . Điều kiện: $x \in N;1000 \le x \le 9999$.

Viết thêm chữ số 1 vào đằng trước ta được

$A = \overline {1abcd} = 10000 + \overline {abcd} = 10000 + x$

Viết thêm chữ số 4 vào đằng sau ta được.

$B = \overline {abcd4} = 10.\overline {abcd} + 4 = 10x + 4$

Theo đề bài $B = 4A$ nên có Phương trình

$10x + 4 = 4\left( {10000 + x} \right)$

Giải phương trình

$10x + 4 = 40000 + 4x$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,10x - 4x = 40000 - 4\\ \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,6x = 39996\\ \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 6666\end{array}$

Giá trị $x = 6666$ thỏa mãn các điều kiện nêu trên. Số phải tìm là $6666$ .

Câu 23 :

A.

$550$
B.

$400$
C.

$600$
D.

$500$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Giải bài toán năng suất bằng cách lập phương trình

+) Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

+) Sau đó dựa vào giả thiết của đề bài để lập phương trình.

+) Giải phương trình rồi so sánh điều kiện để kết luận.

Sử dụng: Năng suất bằng tỉ số giữa khối lượng công việc và thời gian hoàn thành

Lời giải chi tiết :

Gọi tổng sản phẩm tổ phải sản xuất theo kế hoạch là $x\,\left( {x > 0} \right)$ (sản phẩm)

Thời gian theo kế hoạch là $\dfrac{x}{{50}}$ (ngày)

Theo thực tế số sản phẩm tổ đã làm là $x + 13$(sản phẩm)

Vì thực tế tổ hoàn thành trước kế hoạch $1$ ngày nên ta có phương trình

$\dfrac{{x + 13}}{{57}} + 1 = \dfrac{x}{{50}} \Leftrightarrow 50\left( {x + 13} \right) + 2850 = 57x$

$ \Leftrightarrow 7x = 3500 \Leftrightarrow x = 500\,\left( {TM} \right)$

Vậy tổng sản phẩm theo kế hoạch là $500$ sản phẩm.

Câu 24 :

Phương trình $\dfrac{{x - 1}}{2} + \dfrac{{x - 1}}{3} - \dfrac{{x - 1}}{6} = 2$ có tập nghiệm là

A.

$S = \left\{ {0;1} \right\}$
B.

$S = \left\{ 4 \right\}$
C.

$S = \emptyset $
D.

$S = \mathbb{R}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Vế trái đặt nhân tử chung rồi đưa phương trình về dạng phương trình bậc nhất một ẩn

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{x - 1}}{2} + \dfrac{{x - 1}}{3} - \dfrac{{x - 1}}{6} = 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{{1}}{2} (x-1) + \dfrac{1}{3}(x-1) - \dfrac{1}{6}(x-1) = 2\\\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{6}} \right) = 2\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\dfrac{4}{6} = 2\\ \Leftrightarrow x - 1= 3\\ \Leftrightarrow x= 4\\ \Rightarrow S = \left\{ 4 \right\}\end{array}$

Câu 25 :

Với $a,b$ bất kỳ. Chọn khẳng định sai.

A.

${a^2} + 5 > 4a$
B.

${a^2} + 10 < 6a - 1$
C.

${a^2} + 1 > a$
D.

$ab - {b^2} \le {a^2}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Phương pháp xét hiệu.

Lời giải chi tiết :

* ${a^2} + 5 - 4a = {a^2} - 4a + 4 + 1 = {(a - 2)^2} + 1 > 0$ (luôn đúng) nên ${a^2} + 5 > 4a$

* ${a^2} + 1 - a = {a^2} - 2a.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = {\left( {a - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} > 0$(luôn đúng) nên ${a^2} + 1 > a$

$\begin{array}{l}\,\,{a^2} + 10 - \left( {6a + 1} \right)\\ = {a^2} - 6a + 10 - 1\\ = {a^2} - 6a + 9\\ = {\left( {a - 3} \right)^2} \ge 0\end{array}$

Vì ${(a - 3)^2} \ge 0$ (luôn đúng) nên ${a^2} + 10 > 6a + 1$ . Do đó B sai.

* Ta có:

$\begin{array}{l}{a^2} \ge ab - {b^2} \Leftrightarrow {a^2} - ab + {b^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow {a^2} - 2a.\dfrac{b}{2} + \dfrac{{{b^2}}}{4} + \dfrac{{3{b^2}}}{4} \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - \dfrac{b}{2}} \right)^2} + \dfrac{{3{b^2}}}{4} \ge 0\end{array}$

Vì ${\left( {a - \dfrac{b}{2}} \right)^2} + \dfrac{{3{b^2}}}{4} \ge 0$(luôn đúng) nên ${a^2} \ge ab - {b^2}$.

Câu 26 :

Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi $a > 0,b > 0:$

A.

${a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b < 0$
B.

${a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b \ge 0$
C.

${a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b \le 0$
D.

${a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b > 0$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Phân tích vế trái thành nhân tử và đánh giá theo điều kiện của $a,\,b$.

Lời giải chi tiết :

Ta có ${a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b = {a^2}(a - b) - {b^2}(a - b)$

$ = {(a - b)^2}(a + b) \ge 0$ ( vì ${\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\,$ với mọi $a,b$ và $a + b > 0$ với $a > 0,b > 0$).

Câu 27 :

Số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình $x(5x + 1) + 4(x + 3) > 5{x^2}$ là

A.

$x = - 3$
B.

$x = 0$
C.

$x = - 1$
D.

$x = - 2$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Nhân đơn thức với đa thức

Áp dụng quy tắc chuyển vế, nhân với một số âm hoặc dương.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\;x(5x + 1) + 4(x + 3) > 5{x^2}\\ \Leftrightarrow 5{x^2} + x + 4x + 12 > 5{x^2}\\ \Leftrightarrow 5x > - 12\\ \Leftrightarrow x > \dfrac{{ - 12}}{5}\end{array}$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x > - \dfrac{{12}}{5}.$

Số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là $x = - 2.$

Câu 28 :

Tích các nghiệm của phương trình $|{x^2} + 2x - 1| = 2$ là

A.

$3$
B.

$ - 3$
C.

$1$
D.

$ - 1$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng: Với $B(x) \ge 0$ thì

$\left| {A(x)} \right| = B(x) \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}A(x) = B(x)\\A(x) = - B(x)\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

$\;\;\left| {{x^2} + 2x - 1} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 2x - 1 = 2\\{x^2} + 2x - 1 = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 2x - 3 = 0\\{x^2} + 2x + 1 = 0\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 3x - x - 3 = 0\\{(x + 1)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x(x + 3) - (x + 3) = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}(x + 3)(x - 1) = 0\\x = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 3 = 0\\x - 1 = 0\\x = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = 1\\x = - 1\end{array} \right..$

Vậy nghiệm của phương trình là $x{\rm{ }} = - 3;{\rm{ }}x = \pm 1.$

Tích các nghiệm của phương trình là $\left( { - 3} \right).1.\left( { - 1} \right) = 3.$

Câu 29 :

Chọn câu trả lời đúng: Cho hình bên, biết $DE{\rm{//}}AC$, tìm $x$ :

A.

$x = 6,5$
B.

$x = 6,25$
C.

$x = 5$
D.

$x = 8$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bước 1: Áp dụng định lý Talet để lập được tỉ lệ thức phù hợp

Bước 2: Biến đổi tỉ lệ thức để tìm ra giá trị $x$ .

Lời giải chi tiết :

Vì $DE{\rm{//}}AC$, áp dụng định lý Talet, ta có:

$\dfrac{{BD}}{{BA}} = \dfrac{{BE}}{{BC}}$$ \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{BD + DA}} = \dfrac{{BE}}{{BE + EC}}$$ \Rightarrow \dfrac{5}{{5 + 2}} = \dfrac{x}{{x + 2,5}} $$\Rightarrow \dfrac{x}{{x + 2,5}} = \dfrac{5}{7} $$ \Rightarrow 7x = 5x + 12,5 $$\Rightarrow x = 6,25. $

Câu 30 :

Giải phương trình ${\left| {x - 3y} \right|^{2017}} + {\left| {y + 4} \right|^{2018}} = 0$ ta được nghiệm $\left( {x;y} \right)$. Khi đó $y - x$ bằng

A.

$ - 16$
B.

$ - 8$
C.

$16$
D.

$8$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Vận dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp bất đẳng thức.

* Nhận xét: Tổng của các số không âm là một số không âm và tổng đó bằng 0 khi và chỉ khi các số hạng của tổng đồng thời bằng 0.

* Cách giải chung: $\left| A \right| + \left| B \right| = 0$

Bước1: Đánh giá: $\left. \begin{array}{l}\left| A \right| \ge 0\\\left| B \right| \ge 0\end{array} \right\} \Rightarrow \left| A \right| + \left| B \right| \ge 0$

Bước 2: Khẳng định: $\left| A \right| + \left| B \right| = 0$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

${\left| {x - 3y} \right|^{2017}} + {\left| {y + 4} \right|^{2018}} = 0$

Ta có:

$\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}\left| {x - 3y} \right| \ge 0\\\left| {y + 4} \right| \ge 0\end{array} \right\} \Rightarrow {\left| {x - 3y} \right|^{2017}} + {\left| {y + 4} \right|^{2018}} \ge 0\\ \Rightarrow {\left| {x - 3y} \right|^{2017}} + {\left| {y + 4} \right|^{2018}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3y = 0\\y + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3.( - 4) = 0\\y = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 12\\y = - 4\end{array} \right.\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = - 12$ và $y = - 4.$

Suy ra $y - x = - 4 - \left( { - 12} \right) = 8.$

Câu 31 :

A.

$DE{\rm{//}}BC$
B.

$\dfrac{{AD}}{{BD}} = \dfrac{{AE}}{{CE}}$
C.

Cả A, B đều đúng
D.

Cả A, B đều sai

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bước 1: Vẽ thêm đường thẳng song song để hình thành các cặp đoạn thẳng tỉ lệ.

Bước 2: Áp dụng định lý Talet và tính chất bắc cầu để tìm ra tỉ lệ thức cần chứng minh

Lời giải chi tiết :

Kẻ đường thẳng đi qua $A$ song song với $BC$ lần lượt cắt $CD$ và $BE$ kéo dài tại $B'$ và $C'$.

Vì M là trung điểm của $BC$ nên $BM = MC$.

Vì $AB'{\rm{//}}MC$, áp dụng định lý Talet ta có:

$\dfrac{{AN}}{{NM}} = \dfrac{{AB'}}{{MC}}$ (1)

Vì $AC'{\rm{//}}\,BM$, áp dụng định lý Talet ta có:

$\dfrac{{AN}}{{NM}} = \dfrac{{AC'}}{{BM}}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\dfrac{{AB'}}{{MC}} = \dfrac{{AC'}}{{BM}}$

Ta có $M$ là trung điểm của $BC$ $ \Rightarrow $$BM = MC$$ \Rightarrow $$AB' = AC'$ (*)

Vì $AB'{\rm{//}}\,BC$, áp dụng định lý Talet ta có:

$\dfrac{{AD}}{{DB}} = \dfrac{{AB'}}{{BC}}$ (**)

Vì $AC'{\rm{//}}\,BC$, áp dụng định lý Talet ta có:

$\dfrac{{AE}}{{EC}} = \dfrac{{AC'}}{{BC}}$ (***)

Từ (*), (**) và (***) ta có:

$\dfrac{{AD}}{{DB}} = \dfrac{{AB'}}{{BC}} = \dfrac{{AE}}{{EC}} = \dfrac{{AC'}}{{BC}}$

$ \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{DB}} = \dfrac{{AE}}{{EC}}$$ \Leftrightarrow \dfrac{{AD}}{{BD}} = \dfrac{{AE}}{{CE}}$ hay $DE{\rm{//}}BC$

Câu 32 :

Tích các nghiệm của phương trình: $\left( {{x^2} - 3x + 3} \right)\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) = 2{x^2}$ là

A.

$ - 2$
B.

$2$
C.

$4$
D.

$3$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Nhận thấy 0 không phải là nghiệm của phương trình nên ta chia cả hai vế của phương trình cho ${x^2} \ne 0$ .

+ Sau đó biến đổi phương trình để làm xuất hiện nhóm hạng tử giống nhau, đặt nhóm hạng tử giống nhau bằng ẩn mới, thay vào phương trình đã cho để được phương trình theo ẩn mới.

+ Giải phương trình theo ẩn mới

+ Thay giá trị vừa tìm được của ẩn mới vào biểu thức đặt ẩn để tìm ẩn ban đầu.

Lời giải chi tiết :

Nhận thấy $x = 0$ không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế của phương trình cho ${x^2} \ne 0$ ta được:

$\dfrac{{{x^2} - 3x + 3}}{x}.\dfrac{{{x^2} - 2x + 3}}{x} = 2 \Leftrightarrow \left( {x + \dfrac{3}{x} - 3} \right)\left( {x + \dfrac{3}{x} - 2} \right) = 2$

Đặt $t = x + \dfrac{3}{x} - 3$ , ta có:

$\begin{array}{l}pt \Leftrightarrow t\left( {t + 1} \right) = 2 \Leftrightarrow {t^2} + t - 2 = 0\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {t + 2} \right) = 0\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 1 = 0\\t + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 2\end{array} \right..\end{array}$

Với $t = 1 \Rightarrow x + \dfrac{3}{x} - 3 = 1 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.$

Với $t = - 2 \Rightarrow x + \dfrac{3}{x} - 3 = - 2 \Leftrightarrow {x^2} - x + 3 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{11}}{4} = 0$ vô nghiệm

Vậy phương trình có tập nghiệm là $S = \left\{ {1;3} \right\}$

Tích các nghiệm của phương trình là $1.3 = 3.$

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3 bước: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Các bài khác cùng chuyên mục

Đề kiểm tra học kì 2 Toán 8 - Đề số 5

Bài giải mới nhất

Báo lỗi góp ý