Đề kiểm tra giữa kì 1 Toán 9 - Đề số 13 có lời giải chi tiết

Đề bài

Lời giải chi tiết

Phần I: Trắc nghiệm

Câu 1: Giá trị của biểu thức \(P = \sqrt 5  \cdot \sqrt {20} \) là

A. 10 .

B. 5 .

C. 6 .

D. 8 .

Phương pháp:

Công thức khai phương căn bậc hai, trục căn thức.

Lời giải:

\(P = \sqrt 5 .\sqrt {20}  = \sqrt {5.20}  = \sqrt {100}  = 10\)

Đáp án A.

Câu 2: Nghiệm của phương trình \(\sqrt x  - 1 = 3\) là

A. 8 .

B. 9 .

C. 16 .

D. 11 .

Phương pháp:

Bình phương 2 vế

Lời giải:

$\begin{align} \sqrt{x}-1=3\left( K:x\ge 0 \right) \\\Leftrightarrow \sqrt{x}=4\Leftrightarrow x=16 \\ \end{align}$

Đáp án C.

Câu 3: Rút gọn biểu thức \(\frac{2}{{\sqrt 3  - 1}} - \frac{2}{{\sqrt 3  + 1}}\) thu được kết quả là

A. 0 .

B. 2 .

C. \(2\sqrt 3 \).

D. \( - 2\sqrt 3 \).

Phương pháp:

Trục căn thức và rút gọn.

Lời giải:

\(\frac{2}{{\sqrt 3  - 1}} - \frac{2}{{\sqrt 3  + 1}} = \frac{{2\left( {\sqrt 3  + 1} \right) - 2\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}} = \frac{4}{{3 - 1}} = 2\)

Đáp án B.

Câu 4: Điều kiện xác định của \(\sqrt {2022 - 2023x} \) là

A. \(x \ge \frac{{2022}}{{2023}}\).

B. \(x \le \frac{{2022}}{{2023}}\).

C. \(x \ge \frac{{2023}}{{2022}}\).

D. \(x \le \frac{{2023}}{{2022}}\).

Phương pháp:

\(\sqrt A \) xác định khi \(A \ge 0\)

Lời giải:

\(\sqrt {2022 - 2023x} \) xác định khi \(2022 - 2023x \ge 0 \Leftrightarrow x \le \frac{{2022}}{{2023}}\)

Đáp án B.

Câu 5: Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \({\rm{A}}\) có \(AB = 6\;{\rm{cm}},AC = 8\;{\rm{cm}}\). Độ dài đường cao \({\rm{AH}}\) bằng

A. \(\frac{5}{{24}}\;{\rm{cm}}\).

B. \(4,8\;{\rm{cm}}\).

C. \(23,04\;{\rm{cm}}\).

D. \(10\;{\rm{cm}}\).

Phương pháp:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lời giải:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{{6^2}}} + \frac{1}{{{8^2}}} = \frac{{25}}{{576}} \Rightarrow AH = \frac{{24}}{5} = 4,8cm\)

Đáp án B.

Câu 6: Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \({\rm{A}}\), có \(AB = 3,AC = 4\). Khi đó tanB bằng

A. \(\frac{3}{4}\).

B. \(\frac{3}{5}\).

C. \(\frac{4}{3}\).

D. \(\frac{4}{5}\).

Phương pháp:

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn

Lời giải:

Ta có \(\tan B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{4}{3}\)

Đáp án C.

Phần II: Tự luận

Câu 7: (1,5d) Thực hiện phép tính:

a) \((3\sqrt 5  - 2\sqrt 3 ) \cdot \sqrt 5  + \sqrt {60} \).

b) \(\sqrt {125}  - 4\sqrt {45}  + 3\sqrt {20}  + \sqrt {80} \).

Phương pháp:

Công thức khai phương căn bậc hai, trục căn thức.

Lời giải:

a) \((3\sqrt 5  - 2\sqrt 3 ) \cdot \sqrt 5  + \sqrt {60}  = 3\sqrt {5.5}  - 2\sqrt {3.5}  + \sqrt {4.15} \) \( = 3.5 - 2\sqrt {15}  + 2\sqrt {15}  = 15\)

b) \(\sqrt {125}  - 4\sqrt {45}  + 3\sqrt {20}  + \sqrt {80}  = 5\sqrt 5  - 12\sqrt 5  + 6\sqrt 5  + 4\sqrt 5  = 3\sqrt 5 \)

Câu 8: (1,5đ) Giải phương trình:

a) \(\sqrt {4x + 20}  + \sqrt {x + 5}  - \frac{1}{3}\sqrt {9x + 45}  = 4\);

b) \(\frac{{2\sqrt x  - 7}}{3} + \sqrt x  - \frac{{3\sqrt x  - 5}}{2} = 1\)

Phương pháp:

a) Tìm điều kiện xác định, đưa các hệ số ra ngoài căn và rút gọn

b) Quy đồng bỏ mẫu và rút gọn, giải phương trình

Lời giải:

a) ĐKXĐ: \(x \ge  - 5\)

Khi đó \(\sqrt {4x + 20}  + \sqrt {x + 5}  - \frac{1}{3}\sqrt {9x + 45}  = 4\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {4(x + 5)}  + \sqrt {x + 5}  - \frac{1}{3}\sqrt {9(x + 5)}  = 4 \Leftrightarrow 2\sqrt {x + 5}  + \sqrt {x + 5}  - \frac{1}{3} \cdot 3\sqrt {x + 5}  = 4\)

\( \Leftrightarrow 2\sqrt {x + 5}  + \sqrt {x + 5}  - \sqrt {x + 5}  = 4 \Leftrightarrow \sqrt {x + 5}  = 2 \Leftrightarrow x + 5 = 4\)

\( \Leftrightarrow x =  - 1\) (thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x =  - 1\)

b) ĐKXÐ: \(x \ge 0\)

Khi đó \(\frac{{2\sqrt x  - 7}}{3} + \sqrt x  - \frac{{3\sqrt x  - 5}}{2} = 1 \Leftrightarrow 2(2\sqrt x  - 7) + 6\sqrt x  - 3(3\sqrt x  - 5) = 6\)

\( \Leftrightarrow 4\sqrt x  - 14 + 6\sqrt x  - 9\sqrt x  + 15 = 6 \Leftrightarrow \sqrt x  = 5 \Leftrightarrow x = 25\) (thỏa mãn)

Vây phương trình có nghiệm là \(x = 25\)

Câu 9: (2đ) Cho biểu thức \(A = \frac{{{a^2} + \sqrt a }}{{a - \sqrt a  + 1}} - \frac{{2a + \sqrt a }}{{\sqrt a }} + 1\) với \({\rm{a}} > 0\),

a) Rút gọn biểu thức \({\rm{A}}\).

b) Tìm \({\rm{a}}\) để \({\rm{A}} = 2\).

c) Tìm a để \({\rm{A}}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Phương pháp:

a) Rút gọn các phân thức rồi rút gọn biểu thức.

b) Giải phương trình \(A = 2\) tìm a

c) Áp dụng hằng đẳng thức.

Lời giải:

a) Với \(a > 0\) ta có:

\(\begin{array}{l}A = \frac{{{a^2} + \sqrt a }}{{a - \sqrt a  + 1}} - \frac{{2a + \sqrt a }}{{\sqrt a }} + 1\\ = \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt {{a^3}}  + 1} \right)}}{{a - \sqrt a  + 1}} - \frac{{\sqrt a (2\sqrt a  + 1)}}{{\sqrt a }} + 1\\ = \frac{{\sqrt a (\sqrt a  + 1)(a - \sqrt a  + 1)}}{{a - \sqrt a  + 1}} - (2\sqrt a  + 1) + 1\\ = \sqrt a (\sqrt a  + 1) - 2\sqrt a  - 1 + 1\\ = a + \sqrt a  - 2\sqrt a \\ = a - \sqrt a \end{array}\)

Vậy với \({\rm{a}} > 0\) thì \({\rm{A}} = a - \sqrt a \).

b) Để \({\rm{A}} = 2\) thì \(a - \sqrt a  = 2 \Leftrightarrow a - \sqrt a  - 2 = 0 \Leftrightarrow a + \sqrt a  - 2\sqrt a  - 2 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt a (\sqrt a  + 1) - 2(\sqrt a  + 1) = 0\\ \Leftrightarrow (\sqrt a  + 1)(\sqrt a  - 2) = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt a  - 2 = 0({\rm{ do }}\sqrt a  + 1 > 0)\\ \Leftrightarrow \sqrt a  = 2 \Leftrightarrow a = 4(TM)\end{array}\)

Vậy \(a = 4\).

\(\begin{array}{l}{\rm{ c) A}} = a - \sqrt a \\ = a - 2\sqrt a  \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}\\ = {\left( {\sqrt a  - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4} \ge  - \frac{1}{4}\\ \Rightarrow {A_{\min }} =  - \frac{1}{4} \Leftrightarrow \sqrt a  - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow \sqrt a  = \frac{1}{2} \Leftrightarrow a = \frac{1}{4}\end{array}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \({\rm{A}}\) là \( - \frac{1}{4}\), đạt được khi \(a = \frac{1}{4}\).

Câu 10: (2đ) Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A có \(\widehat B = {30^0},AB = 6\;{\rm{cm}}\).

a) Giải \(\Delta ABC\).

b) Vẽ đường cao \({\rm{AH}}\) và trung tuyến \({\rm{AM}}\) của \(\Delta ABC\). Tính diện tích \(\Delta AHM\).

Phương pháp:

Áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn \(\sin ,\cos ,\tan ,\cot \).

Lời giải:

a) Ta có \(\widehat C = {90^0} - \widehat B = {90^0} - {30^0} = {60^0}\)

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \({\rm{A}}\), đường cao \({\rm{AH}}\). Ta có :

\(\begin{array}{l}AC = AB.\tan B = 6.\tan {30^0} = 2\sqrt 3 \;{\rm{cm}}\\BC = \frac{{AB}}{{\cos {\rm{B}}}} = \frac{6}{{\cos {{30}^0}}} = 4\sqrt 3 \;{\rm{cm}}\end{array}\)

b) Xét \(\Delta ABH, \) ta có \(AH = AB.\sin B = 6.\sin {30^0} = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3\;{\rm{cm}}\\HB = AB.\cos B = 6.\cos {30^0} = 6 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 3\sqrt 3 \;{\rm{cm}}\\MB = \frac{{BC}}{2} = \frac{{4\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 3 \;{\rm{cm}}\\HM = HB - MB = 3\sqrt 3  - 2\sqrt 3  = \sqrt 3 \;{\rm{cm}}\)

Diện tích \(\Delta AHM\) là: \({S_{\Delta AHM}} = \frac{{AH \cdot HM}}{2} = \frac{{3 \cdot \sqrt 3 }}{2} \approx 2,6\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\)