Cách chia đa thức cho đơn thức bằng cách đặt ẩn phụ - Toán 8

Đặt ẩn phụ là phương pháp để đơn giản hoá biểu thức.

Đối với dạng bài chia đa thức cho đa thức mà đa thức bị chia và đa thức chia đều chứa các luỹ thừa khác nhau của một biểu thức, ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đơn giản hoá phép tính.

Đưa bài tập về phép chia đa thức cho đơn thức.

 Cách thực hiện:

- Đặt biểu thức được lặp lại bằng ẩn phụ, biểu thức trở thành phép chia đa thức cho đơn thức.

- Thực hiện quy tắc chia đa thức cho đơn thức: Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp chia hết), ta chia từng hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.

- Rút gọn kết quả, thay lại ẩn phụ bằng biểu thức ban đầu.

Ví dụ: Tính:

\(\left[ {5{{\left( {x - y} \right)}^n} + 2{{\left( {x - y} \right)}^{n + 2}} - 7{{\left( {x - y} \right)}^{n + 1}}} \right]:\left[ {\frac{1}{2}{{\left( {x - y} \right)}^{n - 1}}} \right],n \in {\mathbb{N}^*}\)

Đặt \(x - y = t\), phép tính trở thành:

\(\left( {5{t^n} + 2{t^{n + 2}} - 7{t^{n + 1}}} \right):\left( {\frac{1}{2}{t^{n - 1}}} \right),n \in {\mathbb{N}^*}\)

\(\begin{array}{l} = 5{t^n}:\left( {\frac{1}{2}{t^{n - 1}}} \right) + 2{t^{n + 2}}:\left( {\frac{1}{2}{t^{n - 1}}} \right) - 7{t^{n + 1}}:\left( {\frac{1}{2}{t^{n - 1}}} \right)\\ = \left( {5:\frac{1}{2}} \right).\left( {{t^n}:{t^{n - 1}}} \right) + \left( {2:\frac{1}{2}} \right)\left( {{t^{n + 2}}:{t^{n - 1}}} \right) - \left( {7:\frac{1}{2}} \right)\left( {{t^{n + 1}}:{t^{n - 1}}} \right)\\ = 10t + 4{t^3} - 14{t^2}\end{array}\)

Thay \(t = x - y\), ta được:

\(\left[ {5{{\left( {x - y} \right)}^n} + 2{{\left( {x - y} \right)}^{n + 2}} - 7{{\left( {x - y} \right)}^{n + 1}}} \right]:\left[ {\frac{1}{2}{{\left( {x - y} \right)}^{n - 1}}} \right] = 10\left( {x - y} \right) + 4{\left( {x - y} \right)^3} - 14{\left( {x - y} \right)^2}\)