Dạng 1. Tìm ƯC, ƯCLN. BC, BCNN Chủ đề 4 Ôn hè Toán 6

Lý thuyết

* Tìm ước chung của hai số a và b

Bước 1: Viết tập hợp các ước của a và của b: Ư(a), Ư(b)

Bước 2: Tìm những phần tử chung của Ư(a) và Ư(b).

* Tìm ƯCLN

Muốn tìm ƯCLN của của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.

* Tìm bội chung của hai số a và b

Bước 1: Viết tập hợp các bội B(a) của a và các bội B(b) của b.

Bước 2: Tìm những phần tử chung của B(a) và B(b).

* Tìm BCNN:

Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện theo ba bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

* Chú ý: Ước của ƯCLN (a,b) là ƯC(a,b)

Bội của BCNN (a,b) là BC(a,b)

Tích của ƯCLN(a,b) và BCNN(a,b) bằng tích a.b

Bài tập

Bài 1: Xác định số nhỏ nhất khác 0 trong các bội chung của 2 và 3.

A. 0.

B. 6.

C. 2.

D. 3.

Bài 2: 8 là ước chung của

A. 12 và 32.

B. 24 và 56.

C. 14 và 48.

D. 18 và 24.

Bài 3: Tìm \(BCNN\left( {38,76} \right)\).

A. 2888.

B. 37.

C. 76.

D. 144.

Bài 4: Tìm ƯCLN\(\left( {18;60} \right)\).

A. 6.

B. 30.

C. 12.

D. 18.

Bài 5: Mẫu số nhỏ nhất khi quy đồng các phân số \(\frac{3}{{16}}\) và \(\frac{5}{{24}}\) là

A. 24.

B. 48.

C. 96.

D. 16.

Bài 6: Viết tập hợp:

a) ƯC(32,24).

b) BC(12,15).

Bài 7: Tìm:

a) ƯCLN(24,54). Từ đó chỉ ra các ƯC(24,54).

b) BCNN(24,18). Từ đó chỉ ra các BC(24,18).

Bài 8: Tìm ƯCLN(24,16,28) và BCNN(24,16,28).

Bài 9. Cho ƯCLN(a,b) = 3³ . 5³; BCNN(a,b) = 2² . 3⁴ . 5⁵.

Tìm a, b dương biết rằng a = 3.b.

Bài 10:

a) Rút gọn \(\frac{{70}}{{95}}\) về phân số tối giản.

b) Thực hiện phép tính: \(\frac{{11}}{{15}} - \frac{3}{{25}} + \frac{9}{{10}}\).

Bài 11: Tìm số tự nhiên \(x\), biết:

a) \(x\) nhỏ nhất, \(x  \vdots  45; x  \vdots  110\) và \(x  \vdots  75\).

b) \(x\) lớn nhất, \(x + 160\) và \(x + 300\) đều là bội của \(x\).

----HẾT----

Lời giải chi tiết:

Bài 1: Xác định số nhỏ nhất khác 0 trong các bội chung của 2 và 3.

A. 0.

B. 6.

C. 2.

D. 3.

Phương pháp

Tìm B(2), B(3): Muốn tìm bội của một số tự nhiên ta lấy số đó nhân lần lượt với các số 0; 1; 2; 3…

Tìm BC(2,3)

Tìm số nhỏ nhất khác 0 trong các bội chung vừa tìm được.

Lời giải

B(2) = {0;2;4;6;8;...}

B(3) = {0;3;6;9;...}

Số nhỏ nhất khác 0 trong bội chung của 2 và 3 là: 6.

Đáp án: B

Bài 2: 8 là ước chung của

A. 12 và 32.

B. 24 và 56.

C. 14 và 48.

D. 18 và 24.

Phương pháp

- Chia các số cho 8

- Nếu cả 2 số cần xét chia hết cho 8 thì 8 là ước chung của 2 số đó.

Lời giải

24:8 = 3;

56:8 = 7

Do đó 8 là ước chung của 24 và 56.

Đáp án: B

Bài 3: Tìm \(BCNN\left( {38,76} \right)\).

A. 2888.

B. 37.

C. 76.

D. 144.

Phương pháp

Nếu \(a \vdots b\) thì \(BCNN\left( {a;b} \right) = a\)

Lời giải

Ta có \(76 \vdots 38\) nên \(BCNN\left( {38;76} \right) = 76.\)

Đáp án: C

Bài 4: Tìm ƯCLN\(\left( {18;60} \right)\).

A. 6.

B. 30.

C. 12.

D. 18.

Phương pháp

Muốn tìm ƯCLN của của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.

Lời giải

Ta có: \(18 = {2.3^2}; 60 = {2^2}.3.5\)

Nên ƯCLN\(\left( {18;60} \right) = 2.3 = 6.\)

Đáp án: A

Bài 5: Mẫu số nhỏ nhất khi quy đồng các phân số \(\frac{3}{{16}}\) và \(\frac{5}{{24}}\) là

A. 24.

B. 48.

C. 96.

D. 16.

Phương pháp

Muốn quy đồng mẫu số nhiều phân số ta có thể làm như sau:

Bước 1: Tìm một bội chung của các mẫu số (thường là BCNN) để làm mẫu số chung.

Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu số (bằng cách chia mẫu số chung cho từng mẫu

số riêng).

Bước 3: Nhân tử số và mẫu số của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.

Lời giải

Ta có:

16 = \({2^4}\)

24 = \({2^3}.3\)

Suy ra BCNN(16, 24) = \({2^4}.3\) = 48

Mẫu chung nhỏ nhất khi quy đồng \(\frac{3}{{16}}\) và \(\frac{5}{{24}}\) là 48.

Đáp án: B

Bài 6: Viết tập hợp:

a) ƯC(32,24).

b) BC(12,15).

Phương pháp

a) Bước 1: Viết tập hợp các ước của a và của b: Ư(a), Ư(b)

Bước 2: Tìm những phần tử chung của Ư(a) và Ư(b).

b) Bước 1: Viết tập hợp các bội B(a) của a và các bội B(b) của b.

Bước 2: Tìm những phần tử chung của B(a) và B(b).

Lời giải

a) Ta có:

Ư(32) = {1;2;4;8;16;32}

Ư(24) = {1;2;3;4;6;8;12;24}

Do đó, ƯC(32,24) = {1;2;4;8}

b) Ta có:

B(12) = {0;12;24;36;48;60;72;84;96;108;120;132;…}

B(15) = {0;15;30;45;60;75;90; 105;120; 135;…}

Do đó, BC(12,15) ={0; 60; 120;…}

Bài 7: Tìm:

a) ƯCLN(24,54). Từ đó chỉ ra các ƯC(24,54).

b) BCNN(24,18). Từ đó chỉ ra các BC(24,18).

Phương pháp

a) * Tìm ƯCLN

Muốn tìm ƯCLN của của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.

* Ước của ƯCLN (a,b) là ƯC(a,b)

b) * Tìm BCNN:

Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện theo ba bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

* Bội của BCNN (a,b) là BC(a,b)

Lời giải

a) Ta có:

24 = 2³ . 3

54 = 2. 3³

Thừa số nguyên tố chung là 2 và 3. Số mũ nhỏ nhất của 2 và 3 lần lượt là 1 và 1.

Suy ra ƯCLN(24,54) = 2 . 3 = 6

Ta được: ƯC(24,54) = Ư(6) = {1;2;3;6}

b) Ta có:

24 = 2³ . 3

18 = 2 . 3²

Thừa số nguyên tố chung là 2 và 3, không có thừa số nguyên tố riêng. Số mũ lớn nhất của 2 và 3 lần lượt là 3 và 2.

Suy ra BCNN(24,18) = 2³ . 3² = 72.

Ta được: BC(24,18) = B(72) = {0;72;144;…}

Bài 8: Tìm ƯCLN(24,16,28) và BCNN(24,16,28).

Phương pháp

* Tìm ƯCLN

Muốn tìm ƯCLN của của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.

* Ước của ƯCLN(a,b) là ƯC(a,b)

* Tìm BCNN:

Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện theo ba bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

Lời giải

Ta có:

24 = 2³ . 3

16 = 2⁴

28 = 2² . 7

* Thừa số nguyên tố chung là 2. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 2.

Suy ra ƯCLN (24,16,28) = 2² = 4.

* Thừa số nguyên tố chung là 2, thừa số nguyên tố riêng là 3 và 7. Số mũ lớn nhất của 2 là 4; của 3 là 1, của 7 là 1.

Suy ra BCNN(24,16,28) = 2⁴ . 3 . 7 = 336.

Bài 9. Cho ƯCLN(a,b) = 3³ . 5³; BCNN(a,b) = 2² . 3⁴ . 5⁵.

Tìm a, b dương biết rằng a = 3.b.

Phương pháp

Tích của ƯCLN(a,b) và BCNN(a,b) bằng tích a.b

Kết hợp dữ kiện a = 3.b để tìm a, b

Lời giải

Ta có:

a.b = ƯCLN(a,b) . BCNN(a,b)

= 3³ . 5³ . 2² . 3⁴ . 5⁵

= 2² . 3⁷ . 5⁸

Mà a = 3.b nên ta có:

3.b.b = 2² . 3⁷ . 5⁸

Hay 3b² = 2² . 3⁷ . 5⁸

Nên b² = 2² . 3⁶ . 5⁸ = (2 . 3³ . 5⁴)²

Do đó, b = 2 . 3³ . 5⁴

Suy ra a = 3 . b = 3 . 2 . 3³ . 5⁴ = 2 . 3⁴ . 5⁴.

Vậy a = 2 . 3⁴ . 5⁴; b = 2 . 3³ . 5⁴

Bài 10:

a) Rút gọn \(\frac{{70}}{{95}}\) về phân số tối giản.

b) Thực hiện phép tính: \(\frac{{11}}{{15}} - \frac{3}{{25}} + \frac{9}{{10}}\).

Phương pháp

a) - Phân tích các số trên tử và mẫu ra thừa số nguyên tố.

- Tìm ƯCLN của tử và mẫu của mỗi phân số.

- Chia cả tử và mẫu cho ƯCLN tìm được.

b) - Chọn mẫu chung là BCNN của các mẫu.

- Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu.

- Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với mẫu phụ tương ứng.

- Cộng các phân số cùng mẫu.

Lời giải

a) Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{70 = 2.5.7}\\{95 = 5.19}\end{array}\)

Suy ra ƯCLN (70,95) = 5

Do đó \(\frac{{70}}{{95}} = \frac{{70:5}}{{95:5}} = \frac{{14}}{{19}}\).

b) Ta có:

15 = 3.5

25 = 5\(^2\)

10 = 2.5

Do đó mẫu chung là BCNN(15,25,10) = 2.3.5\(^2\) = 150.

Thừa số phụ của 15 là 10; của 15 là 6; của 10 là 15.

\(\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{11}}{{15}} - \frac{3}{{25}} + \frac{9}{{10}}}\\{ = \frac{{11.10}}{{15.10}} - \frac{{3.6}}{{25.6}} + \frac{{9.15}}{{10.15}}}\\{ = \frac{{110 - 18 + 135}}{{150}}}\\{ = \frac{{227}}{{150}}}\end{array}\)

Bài 11: Tìm số tự nhiên \(x\), biết:

a) \(x\) nhỏ nhất, \(x  \vdots  45; x  \vdots  110\) và \(x  \vdots  75\).

b) \(x\) lớn nhất, \(x + 160\) và \(x + 300\) đều là bội của \(x\).

Phương pháp

a) Từ đề bài suy ra \(x \in \)BC\(\left( {105;175;385} \right)\) mà \(x\) nhỏ nhất nên \(x = \) BCNN\(\left( {45;75;110} \right)\).

Tìm bội chung nhỏ nhất theo các bước

Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện theo ba bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

b) Vì \(x + 160\) và \(x + 300\) là bội của \(x\) nên \(x \in \) ƯC\(\left( {x + 160;x + 300} \right)\)

Vì \(x \vdots x\) và \(x\) lớn nhất nên \(x = \) ƯCLN\(\left( {160;300} \right)\)

Bài toán quy về bài toán tìm ước chung lớn nhất

Muốn tìm ƯCLN của của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.

Lời giải

a) Vì \(x  \vdots  45; x  \vdots  110\) và \(x  \vdots  75\) nên \(x  \in BC\left( {45;75;110} \right)\) mà \(x\) nhỏ nhất nên \(x = BCNN\left( {45;75;110} \right)\)

Ta có \(45 = {3^2}.5; 75 = {3.5^2}; 110 = 2.5.11\)

Nên \(x = BCNN\left( {45;75;110} \right) = {2.3^2}{.5^2}.11\)\( = 4950.\)

b) Vì \(x + 160\) và \(x + 300\) đều là bội của \(x\) nên \(\left( {x + 160} \right) \vdots x\) và \(\left( {x + 300} \right) \vdots x\)

Vì \(x \vdots x\) nên \(160 \vdots x\) và \(300 \vdots x\)

Suy ra \(x \in \) ƯC\(\left( {160;300} \right)\) 

Vì \(x\) lớn nhất nên \(x = \) ƯCLN\(\left( {160;300} \right)\)

\(160 = {2^5}.5\) và \(300 = {2^2}{.3.5^2}\)

Suy ra \(x = \) ƯCLN\(\left( {160;300} \right)\)\( = {2^2}.5 = 20\)