Lời giải chi tiết:

* Từ $\left( d \right) \Rightarrow y = 2x + m$. Thay vào $\left( E \right)$ ta có phương trình ${x^2} + 4{\left( {2x + m} \right)^2} = 4$

$\Leftrightarrow 17{x^2} + 16mx + 4{m^2} - 4 = 0\,\,\left( * \right)$

* Để $\left( d \right)$ tiếp xúc với $\left( E \right)$ thì phương trình (*) có nghiệm kép

$\Leftrightarrow \Delta ' = 0 \Leftrightarrow 64{m^2} - 17\left( {4{m^2} - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow m =  \pm \sqrt {17}$.

Chọn C.