Phương pháp giải:

Nhận ra rằng \({\left[ {f'(x)} \right]^2} + f(x).f''(x) = {\left[ {f\left( x \right).f'\left( x \right)} \right]^\prime }\)  từ đó lấy nguyên hàm hai vế của phương trình ta tìm được \(f\left( x \right).f'\left( x \right)\) và kết hợp giả thiết để biến đổi tìm ra \(f\left( x \right).\) Từ đó tính \({f^2}\left( 1 \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \({\left[ {f'(x)} \right]^2} + f(x).f''(x) = 2{x^2} - x + 1\)

\( \Leftrightarrow \left[ {f(x).f'(x)} \right]' = 2{x^2} - x + 1\)

\( \Rightarrow f(x).f'(x) = \int {\left( {2{x^2} - x + 1} \right){\rm{d}}x} \)

\( \Rightarrow f(x).f'(x) = \dfrac{{2{x^3}}}{3} - \dfrac{{{x^2}}}{2} + x + C\,\,(*)\)

Mà ta lại có \(f(0) = f'(0) = 3\), thay vào (*) ta suy ra \(3.3 = C \Rightarrow C = 9\)

Từ đó \(f(x).f'(x) = \dfrac{{2{x^3}}}{3} - \dfrac{{{x^2}}}{2} + x + 9\,\)

Mặt khác xét  \(\int\limits_0^1 {f(x).f'(x).{\rm{d}}x}  = \int\limits_0^1 {\left( {\dfrac{{2{x^3}}}{3} - \dfrac{{{x^2}}}{2} + x + 9} \right){\rm{d}}x} \,\)

\( \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f(x){\rm{d}}\left( {f(x)} \right)}  = \dfrac{{19}}{2} \Leftrightarrow \left. {\dfrac{{{f^2}(x)}}{2}} \right|_0^1 = \dfrac{{19}}{2}\)

\( \Leftrightarrow {f^2}(1) - {f^2}(0) = 19\) mà \(f\left( 0 \right) = 3\) \( \Rightarrow {f^2}(1) - 9 = 19 \Leftrightarrow {f^2}\left( 1 \right) = 28\)

Chọn A.