Phương pháp giải:

+) Chứng minh tam giác SHC đều, kẻ \(CK \bot SH\), chứng minh \(CK//OO'\).

+) \(CK//OO' \Rightarrow \angle \left( {OO';\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {CK;\left( {ABC} \right)} \right)\).

+) Xác định góc giữa \(CK\) và \(\left( {ABC} \right)\) và tính góc đó.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(SI \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SI \bot HC\).

Xét tam giác \(SHC\) có \(SI\) là trung tuyến đồng thời là đường cao \( \Rightarrow \Delta SHC\) cân tại \(S \Rightarrow SH = SC\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot HC\\AB \bot SI\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SHC} \right) \Rightarrow AB \bot SH\).

Do \(\Delta ABC\) vuông tại C và \(\Delta SAB\) vuông tại S, lại có \(O\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow OA = OB = OS = OC\).

Xét tam giác vuông \(OSH\) và tam giác vuông \(OCH\) có:

\(OS = OC\,\,\left( {cmt} \right);\,\,OH\,\,chung\)

\( \Rightarrow \Delta OSH = \Delta OCH\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông) \( \Rightarrow SH = CH\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \Delta SHC\) đều.

Gọi \(K\) là trung điểm của \(SH\) ta có \(CK \bot SH\).

Do \(AB \bot \left( {SHC} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow AB \bot CK \Rightarrow CK \bot \left( {SAB} \right)\) (3).

Vì tam giác \(SAB\) vuông tại \(S \Rightarrow O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta SAB\).

\(O'\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABSI \Rightarrow OO'\) là trục của \(\Delta SAB \Rightarrow OO' \bot \left( {SAB} \right)\)  (4).

Từ (3) và (4) \( \Rightarrow CK//OO' \Rightarrow \angle \left( {OO';\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {CK;\left( {ABC} \right)} \right)\).

Trong \(\left( {SHC} \right)\) kẻ \(KM//SI\,\,\left( {M \in CH} \right) \Rightarrow CM\) là hình chiếu của \(CK\) trên \(\left( {ABC} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {CK;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {CK;CM} \right) =   \angle KCM = \angle KCH\).

Do tam giác \(SHC\) là tam giác đều (cmt) \( \Rightarrow \) Đường cao \(CK\) đồng thời là phân giác \( \Rightarrow \angle KCH = {30^0}\).

Vậy \(\angle \left( {OO';\left( {ABC} \right)} \right) = {30^0} \Rightarrow \alpha  = {30^0} \Rightarrow \cos \alpha  = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Chọn A.