Phương pháp giải:

Rút gọn \(P\left( x \right)\), sau đó giải bất phương trình \(\dfrac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}} \le \dfrac{1}{2}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}P\left( x \right) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{{9 - x}}{{x + 3\sqrt x }} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{{\left( {3 - \sqrt x } \right)\left( {3 + \sqrt x } \right)}}{{\sqrt x \left( {3 + \sqrt x } \right)}}\\P\left( x \right) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{{3 - \sqrt x }}{{\sqrt x }} = \dfrac{{1 + \left( {3 - \sqrt x } \right)\sqrt x }}{x} = \dfrac{{ - x + 3\sqrt x  + 1}}{x}\end{array}\)

\(Q\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\)

Suy ra :

\(\begin{array}{l}\dfrac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}} \le \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - x + 3\sqrt x  + 1}}{x}:\dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }} \le \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - x + 3\sqrt x  + 1}}{x}.\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} \le \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - x + 3\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}} \le \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow  - 2x + 6\sqrt x  + 2 \le x + \sqrt x \,\,\left( {Do\,\,\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right) > 0} \right)\\ \Leftrightarrow 3x - 5\sqrt x  - 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {3\sqrt x  + 1} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \sqrt x  - 2 \ge 0\,\,\,\left( {Do\,\,3\sqrt x  + 1 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow x \ge 4\end{array}\)

Suy ra số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn \(x = 4\).

Vậy \(x = 4\).