Phương pháp giải:

a) Quy đồng, rút gọn.

b) Đưa biểu thức về dạng \(A\left( x \right) + \dfrac{C}{{B\left( x \right)}}\) với C là hằng số. Để biểu thức đó là số nguyên thì \(B\left( x \right) \in U\left( C \right)\).

c) Nhận xét mẫu số trước khi giải bất phương trình, lưu ý kết hợp điều kiện.

Lời giải chi tiết:

a) Với \(x \ge 0,x \ne 4,x \ne 9.\) Ta có:

\(\begin{array}{l}A = \left( {1 - \dfrac{{\sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}} + \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{x - 5\sqrt x  + 6}}} \right)\\A = \dfrac{1}{{\sqrt x  + 1}}:\left( {\dfrac{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} - \dfrac{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} + \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}} \right)\\A = \dfrac{1}{{\sqrt x  + 1}}:\dfrac{{x - 9 - \left( {x - 4} \right) + \sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\\A = \dfrac{1}{{\sqrt x  + 1}}:\dfrac{{\sqrt x  - 3}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 1}}.\end{array}\)

b)  \(A = \dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 1}} = 1 - \dfrac{3}{{\sqrt x  + 1}}\left( {x \ge 0} \right)\)

Để \(A \in Z\) với x nguyên thì \(\sqrt x  + 1\) là ước nguyên dương của 3 do \(\sqrt x  + 1 > 0\)

.\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0\,\,\,\left( {tm} \right)\\\sqrt x  + 1 = 3 \Leftrightarrow x = 4\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy với \(x = 0\) thì \(A \in Z\)

c) \(A < 0 \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 1}} < 0.\)

Do \(\sqrt x  + 1 > 0 \Rightarrow \dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 1}} < 0 \Leftrightarrow \sqrt x  - 2 < 0 \Leftrightarrow x < 4.\)

Kết với \(x \ge 0\), suy ra \(A > 0 <  =  > 0 \le x < 4.\)

Vậy \(0 \le x < 4\) thì \(A < 0.\)