Câu hỏi
Cho các biểu thức:
\(A = 1 - \frac{{\sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}\) và \(B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 5\sqrt x + 6}}\) với \(x \ge 0,\,\,x \ne 4,\,\,x \ne 9.\)
a) Hãy tính giá trị của A khi \(x = 16\).
b) Rút gọn B.
c) Xét biểu thức \(T = \frac{A}{B}\) . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của T.
- A \(a)\,\,A = \frac{1}{5}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b)\,\,B = \frac{1}{{\sqrt x + 2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,c)\,\,\min T = 0\)
- B \(a)\,\,A = \frac{1}{5}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b)\,\,B = \frac{1}{{\sqrt x - 2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,c)\,\,\min T = - 2\)
- C \(a)\,\,A = \frac{6}{5}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b)\,\,B = \frac{1}{{\sqrt x - 3}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,c)\,\,\min T = - 2\)
- D \(a)\,\,A = \frac{1}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b)\,\,B = \frac{1}{{\sqrt x - 2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,c)\,\,\min T = - 3\)
Phương pháp giải:
+ Quy đồng và rút gọn phân thức
+ Tính và đưa T về dạng \(T = a + \frac{b}{c}\) với a, b là các số nguyên, c là ciểu thức chứa x.Từ điều kiện của x để tìm giá trị nhỏ nhất của T
Lời giải chi tiết:
a) Hãy tính giá trị của A khi \(x = 16\).
Tại \(x = 16\) thì \(A = 1 - \frac{{\sqrt {16} }}{{1 + \sqrt {16} }} = 1 - \frac{4}{{1 + 4}} = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}\)
b) Rút gọn B.
\(\begin{array}{l}B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 5\sqrt x + 6}}\\\;\;\; = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\\;\;\; = \frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right) - \left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right) + \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{x - 9 - x + 4 + \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{1}{{\sqrt x - 2}}\end{array}\)
c) Xét biểu thức \(T = \frac{A}{B}\) . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của T.
\(A = 1 - \frac{{\sqrt x }}{{1 + \sqrt x }} = \frac{{1 + \sqrt x - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }} = \frac{1}{{1 + \sqrt x }}\)
\(T = \frac{A}{B} = \frac{1}{{1 + \sqrt x }}:\frac{1}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{\sqrt x - 2}}{{1 + \sqrt x }} = \frac{{\sqrt x + 1 - 3}}{{1 + \sqrt x }} = 1 - \frac{3}{{1 + \sqrt x }}\)
Do \(x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x \ge 0 \Rightarrow \frac{3}{{1 + \sqrt x }} \le \frac{3}{1} = 3 \Rightarrow T = 1 - \frac{3}{{1 + \sqrt x }} \ge 1 - 3 = - 2\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x = 0\)
Vậy \(\min T = - 2\) khi \(x = 0.\)
Chọn B.