Phương pháp giải:

Tách \(\cos x = {1 \over 2}\left( {\cos x + \sin x + \cos x - \sin x} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & \int\limits_0^{{\pi  \over 4}} {{{\cos x} \over {\sin x + \cos x}}dx}  = {1 \over 2}\int\limits_0^{{\pi  \over 4}} {{{\cos x + \sin x + \cos x - \sin x} \over {\sin x + \cos x}}dx}   \cr   &  = {1 \over 2}\int\limits_0^{{\pi  \over 4}} {dx}  + {1 \over 2}\int\limits_0^{{\pi  \over 4}} {{{\left( {\sin x + \cos x} \right)'} \over {\sin x + \cos x}}dx}  = {1 \over 2}.{\pi  \over 4} + \left. {{1 \over 2}\ln \left| {\sin x + \cos x} \right|} \right|_0^{{\pi  \over 4}}  \cr   &  = {\pi  \over 8} + {1 \over 2}\ln \sqrt 2  = {\pi  \over 8} + {1 \over 4}\ln 2 \Rightarrow \left\{ \matrix{  a = {1 \over 8} \hfill \cr   b = {1 \over 4} \hfill \cr}  \right. \Rightarrow {a \over b} = {{{1 \over 8}} \over {{1 \over 4}}} = {1 \over 2} \cr} \)

Chọn C.