Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nhân đôi \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\).

Đặt ẩn phụ \(t = \sin x\)

Lời giải chi tiết:

\(I = \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{\sin 2x\sin x} \over {1 + \sin x}}dx}  = \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{2{{\sin }^2}x\cos x} \over {1 + \sin x}}dx} \), đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\), đổi cận \(\left\{ \matrix{  x = 0 \Rightarrow t = 0 \hfill \cr   x = {\pi  \over 2} \Rightarrow t = 1 \hfill \cr}  \right.\)

\( \Rightarrow 2\int\limits_0^1 {{{{t^2}} \over {1 + t}}dt}  = 2\int\limits_0^1 {\left( {t - 1 + {1 \over {t + 1}}} \right)dt}  = 2\left. {\left( {{{{t^2}} \over 2} - t + \ln \left| {t + 1} \right|} \right)} \right|_0^1 =  - 1 + 2\ln 2 \Rightarrow \left\{ \matrix{  a = 2 \hfill \cr   b = 1 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 5\)

Chọn A.