Câu hỏi
Cho hàm số \(f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & \frac{\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+5}}{x-4}\,\,\,\,khi\,\,\,x\ne 4 \\ & a+2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x=4 \\\end{align} \right..\) Tìm tất cả giá trị thực của tham số a để hàm số liên tục tại \({{x}_{0}}=4.\)
- A \(a=\frac{5}{2}\)
- B \(a=-\frac{11}{6}\)
- C \(a=3\)
- D \(a=2\)
Phương pháp giải:
Hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục tại \(x={{x}_{0}}\Leftrightarrow \underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right).\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+5}}{x-4}=\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( \sqrt{2x+1}-\sqrt{x+5} \right)\left( \sqrt{2x+1}+\sqrt{x+5} \right)}{\left( x-4 \right)\left( \sqrt{2x+1}+\sqrt{x+5} \right)}\)
\(=\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-4}{\left( x-4 \right)\left( \sqrt{2x+1}+\sqrt{x+5} \right)}=\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\left( \sqrt{2x+1}+\sqrt{x+5} \right)}=\frac{1}{6}.\)
Mà \(f\left( 4 \right)=a+2.\)
\(\Rightarrow \) Hàm số liên tục tại \({{x}_{0}}=4\Leftrightarrow a+2=\frac{1}{6}\Leftrightarrow a=-\frac{11}{6}.\)
Chọn B.
Câu hỏi trước
