Phương pháp giải:

Hàm số liên tục tại \(x = 1\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right).\)

Sử dụng các quy tắc tính giới hạn của hàm số để tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right).\)Sau đó xác định điều kiện của \(a.\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số liên tục tại \(x = 1\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\,\,\left( 1 \right).\)

Ta có \(f\left( 1 \right) = \dfrac{1}{2},\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{\rm{ax}} + 1} \right) = a + 1\,\,\left( 2 \right).\)

Hơn nữa \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{{x^2}}}{2} = \dfrac{1}{2}\,\,\left( 3 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right),\,\left( 3 \right)\) ta nhận được \(a + 1 = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow a =  - \dfrac{1}{2}.\)

Chọn C.