Phương pháp giải:

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(M\) trên mặt phẳng \(\left( P \right).\)

Khi đó \(\left\{ H \right\} = \left( P \right) \cap d\) với \(d\) là đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(\left( P \right).\)

Đường thẳng \(d\) có VTCP là VTPT của \(\left( P \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left( P \right):\,\,x + y - 2z - 1 = 0\) có VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {1;\,\,1; - 2} \right).\)

Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(M\left( {1; - 2;\,\,2} \right)\) và vuông góc với \(\left( P \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {{n_P}} \\ \Rightarrow d:\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 2 + t\\z = 2 - 2t\end{array} \right..\end{array}\)

Khi đó hình chiếu vuông góc của \(M\) trên \(\left( P \right)\) là giao điểm \(H\) của \(\left( P \right)\) và \(d.\)

Ta có: \(H \in d \Rightarrow H\left( {1 + t;\, - 2 + t;\,\,2 - 2t} \right)\)

Lại có \(H \in \left( P \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 1 + t - 2 + t - 2\left( {2 - 2t} \right) - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 2t - 2 - 4 + 4t = 0\\ \Leftrightarrow 6t = 6\\ \Leftrightarrow t = 1\\ \Rightarrow H\left( {2;\, - 1;\,\,0} \right).\end{array}\)

Chọn A.