Phương pháp giải:

- Tính đạo hàm của từng hàm số.

- Xét dấu $y'$ và kết luận các khoảng đơn điệu của hàm số.

Lời giải chi tiết:

+) Xét hàm số $y = \dfrac{{2x + 1}}{{x + 1}}$ có TXĐ $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$ và $y' = \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0\,\,\forall x \ne  - 1$

$\Rightarrow$ Hàm số $y = \dfrac{{2x + 1}}{{x + 1}}$ đồng biến trên khoảng xác định.

+) Xét hàm số $y =  - {x^4} + {x^2} - 2$ có TXĐ $D = \mathbb{R}$ và $y' =  - 4{x^3} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.$ nên hàm số $y =  - {x^4} + {x^2} - 2$ không đồng biến trên $\mathbb{R}$.

+) Xét hàm số $y = {x^3} + 3x - 5$ có TXĐ $D = \mathbb{R}$ và $y' = 3{x^2} + 3 > 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}$ nên hàm số $y = {x^3} + 3x - 5$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Vậy (I) và (III) thỏa mãn.

Chọn D.