Phương pháp giải:

- Tính \(y'\).

- Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\).

- Cô lập \(m\), đưa bất phương trình về dạng \(m \ge g\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\) \( \Leftrightarrow m \ge \mathop {max}\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} g\left( x \right)\).

- Vẽ BBT hàm số \(g\left( x \right)\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Hàm số đã cho xác định trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có \(y' = 3{x^2} - 12x + m\).

Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) \( \Leftrightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{x^2} - 12x + m \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow m \ge  - 3{x^2} + 12x\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} g\left( x \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(g\left( x \right) =  - 3{x^2} + 12x,\,\,x \in \left( {0; + \infty } \right)\):

\(g'\left( x \right) =  - 6x + 12,\,\,g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2\).

BBT:

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow m \ge 12\).

Chọn D.