Phương pháp giải:

- Đặt \(t = 2\left| {\sin x} \right|\), tìm khoảng giá trị của t.

- Dựa vào tính đơn điệu của hàm số: Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và đơn điệu trên \(\left( {a;b} \right)\) thì \(\forall {x_1} < {x_2}\) ta có \(f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\).

- Giải bất phương trình tìm m.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = 2\left| {\sin x} \right|\) ta có \(0 \le \left| {\sin x} \right| \le 1 \Leftrightarrow 0 \le t \le 2\).

Khi đó phương trình trở thành: \(f\left( t \right) = f\left( {{m^2} + 6m + 10} \right)\)  (*) với \(t \in \left[ {0;2} \right]\).

Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) ta thấy hàm số đồng biến, do đó \(f\left( t \right) = f\left( {{m^2} + 6m + 10} \right) \Leftrightarrow t = {m^2} + 6m + 10\). Phương trình có nghiệm \(t \in \left[ {0;2} \right] \Leftrightarrow 0 \le {m^2} + 6m + 10 \le 2\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 0 \le {\left( {m + 3} \right)^2} + 1 \le 2\\ \Leftrightarrow {\left( {m + 3} \right)^2} \le 1\\ \Leftrightarrow  - 1 \le m + 3 \le 1\\ \Leftrightarrow  - 4 \le m \le  - 2\end{array}\)

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 4; - 3; - 2} \right\}\).

Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.