Câu hỏi
Hàm số nào sau đây đồng biến trên toàn trục số?
- A .\(y = {x^3} - 3{x^2}\)
- B \(y = - {x^3} + 3x + 1\)
- C \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 3x + 2\)
- D \(y = {x^3}\)
Phương pháp giải:
- Tính đạo hàm của hàm số.
- Xác định hàm số có \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm (theo định lí 2).
Lời giải chi tiết:
Xét đáp án A:
+ TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
+ \(y' = 3{x^2} - 6x\)
+ \(y' > 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < 0\end{array} \right.\).
+ Kết luận: Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right);\,\,\left( {2; + \infty } \right)\).
Do đó loại đáp án A.
Xét đáp án A:
+ TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
+ \(y' = - 3{x^2} + 3\)
+ \(y' > 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} + 3 > 0 \Leftrightarrow - 1 < x < 1\).
+ Kết luận: Hàm số đồng biến trên \(\left( { - 1;1} \right)\).
Do đó loại đáp án B.
Xét đáp án C:
+ TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
+ \(y' = 3{x^2} + 4x\)
+ \(y' > 0 \Leftrightarrow 3{x^2} + 4x > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 0\\x < - \dfrac{4}{3}\end{array} \right.\).
+ Kết luận: Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ; - \dfrac{4}{3}} \right);\,\,\left( {0; + \infty } \right)\).
Do đó loại đáp án C.
Xét đáp án D:
+ TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
+ \(y' = 3{x^2} \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).
+ \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\).
+ Kết luận: Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Vậy đáp án D thỏa mãn.
Chọn D.