Phương pháp giải:

- Tìm hàm số \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} \) và giả thiết \(f\left( 3 \right) = 3.\)

- Từ đó tính tích phân \(\int\limits_3^8 {f\left( x \right)} dx.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f'\left( x \right) = \dfrac{x}{{x + 1 - \sqrt {x + 1} }}\)

\( \Rightarrow I = f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx}  = \int {\dfrac{x}{{x + 1 - \sqrt {x + 1} }}dx} \)

Đặt \(\sqrt {x + 1}  = t \Rightarrow {t^2} = x + 1 \Rightarrow dx = 2tdt\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int {\dfrac{{\left( {{t^2} - 1} \right).2tdt}}{{{t^2} - t}}}  = \int {\dfrac{{2t\left( {t - 1} \right)\left( {t + 1} \right)}}{{t\left( {t - 1} \right)}}dt} \\ = \int {2\left( {t + 1} \right)dt}  = 2\left( {\dfrac{{{t^2}}}{2} + t} \right) + C = {t^2} + 2t + C\\ \Rightarrow f\left( x \right) = x + 1 + 2\sqrt {x + 1}  + C\\ \Rightarrow f\left( 3 \right) = 3\\ \Leftrightarrow 4 + 2\sqrt 4  + C = 3\\ \Leftrightarrow 8 + C = 3\\ \Leftrightarrow C =  - 5.\\ \Rightarrow f\left( x \right) = x + 1 + 2\sqrt {x + 1}  - 5\\ \Rightarrow K = \int\limits_3^8 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_3^8 {\left( {x + 1 + 2\sqrt {x + 1}  - 5} \right)dx} \end{array}\)

Đặt \(u = \sqrt {x + 1}  \Rightarrow {u^2} = x + 1 \Rightarrow dx = 2udu.\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 \Rightarrow u = 2\\x = 8 \Rightarrow u = 3\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow K = \int\limits_2^3 {\left( {{u^2} + 2u - 5} \right).2udu}  = \int\limits_2^3 {\left( {2{u^3} + 4{u^2} - 10u} \right)du} \\ = \left. {\left( {\dfrac{{2{u^4}}}{4} + \dfrac{{4{u^3}}}{3} - 5{u^2}} \right)} \right|_2^3 = \dfrac{{63}}{2} + \dfrac{4}{3} = \dfrac{{197}}{6}.\end{array}\)

Chọn B.