Phương pháp giải:

- Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {2^x}\). Sử dụng công thức \(\int {{a^x}dx}  = \dfrac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\).

- Thay giá trị \(F\left( 0 \right) = 2\) tìm hằng số \(C\) rồi suy ra hàm số \(F\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx = \int {{2^x}dx = \dfrac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C} } .\)

Mặt khác \(F\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow F\left( 0 \right) = \dfrac{1}{{\ln 2}} + C = 2 \Rightarrow C = 2 - \dfrac{1}{{\ln 2}}\)

\( \Rightarrow F\left( x \right) = \dfrac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + 2 - \dfrac{1}{{\ln 2}}.\)

Chọn D.