Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện xác định của biểu thức.

+) Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi và rút gọn biểu thức.

+) Dựa vào điều kiện của \(x\) để chứng mình \(A \ge 0.\)

Lời giải chi tiết:

a) Với \(x \ge 0,y \ge 0,x \ne y\). Ta có: 
\(\begin{array}{l}A = \left( {\frac{{x - y}}{{\sqrt x  - \sqrt y }} + \frac{{\sqrt {{x^3}}  - \sqrt {{y^3}} }}{{y - x}}} \right):\frac{{{{\left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)}^2} + \sqrt {xy} }}{{\sqrt x  + \sqrt y }}\\ = \left( {\frac{{\left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)}}{{\sqrt x  - \sqrt y }} - \frac{{\left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)\left( {x + \sqrt {xy}  + y} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)}}} \right):\frac{{{{\left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)}^2} + \sqrt {xy} }}{{\sqrt x  + \sqrt y }}\\ = \left( {\sqrt x  + \sqrt y  - \frac{{x + \sqrt {xy}  + y}}{{\sqrt x  + \sqrt y }}} \right):\frac{{x - \sqrt {xy}  + y}}{{\sqrt x  + \sqrt y }}\\ = \frac{{{{\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)}^2} - x - \sqrt {xy}  - y}}{{\sqrt x  + \sqrt y }}.\frac{{\sqrt x  + \sqrt y }}{{x - \sqrt {xy}  + y}}\\ = \frac{{\sqrt {xy} }}{{x - \sqrt {xy}  + y}}\end{array}\)

b) Ta có: \(x \ge 0,y \ge 0,x \ne y\) thì \(\sqrt {xy}  \ge 0;x - \sqrt {xy}  + y = {\left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)^2} + \sqrt {xy}  \ge 0\) .

Vậy \(A \ge 0\) với \(x \ge 0,y \ge 0,x \ne y\).