Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện xác định của biểu thức.

+) Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi và rút gọn biểu thức.

+) Giải phương trình \(A = 4,\) tìm \(x\) rồi đối chiều với điều kiện sau đó kết luận.

Lời giải chi tiết:

\(A = \sqrt {x + 4\sqrt {x - 4} }  + \sqrt {x - 4\sqrt {x - 4} } \)

a) Rút gọn \(A.\)

Điều kiện \(x \ge 4\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}A = \sqrt {x + 4\sqrt {x - 4} }  + \sqrt {x - 4\sqrt {x - 4} } \\ = \sqrt {4 + x - 4 + 4\sqrt {x - 4} }  + \sqrt {4 + x - 4 - 4\sqrt {x - 4} } \\ = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 4}  + 2} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 4}  - 2} \right)}^2}} \\ = \left| {\sqrt {x - 4}  + 2} \right| + \left| {\sqrt {x - 4}  - 2} \right|\\ = \sqrt {x - 4}  + 2 + \left| {\sqrt {x - 4}  - 2} \right|\end{array}\)

TH1: \(\sqrt {x - 4}  - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 8.\)  Ta có:\(A = \sqrt {x - 4}  + 2 + \sqrt {x - 4}  - 2 = 2\sqrt {x - 4} \)

TH2: \(\sqrt {x - 4}  - 2 < 0 \Leftrightarrow x < 8\). Ta có: \(A = \sqrt {x - 4}  + 2 - \sqrt {x - 4}  + 2 = 4\)

Vậy \(x \ge 8\)  thì \(A = 2\sqrt {x - 4} \)

Với \(4 \le x < 8\)  thì  \(A = 4.\)

b) Tìm \(x\)  để  \(A = 4.\)

Theo câu a) ta có TH1: Với \(4 \le x < 8\)  thì \(A = 4.\)

Với TH2: \(x \ge 8\)

\(A = 4 \Leftrightarrow 2\sqrt {x - 4}  = 4 \Leftrightarrow x - 4 = 4 \Leftrightarrow x = 8\)

Vậy \(x = 8\)  thì  \(A = 4.\)

Kết hợp 2 trường hợp ta được \(4 \le x \le 8\) thì \(A = 4.\)