Phương pháp giải:

Góc giữa đường thẳng \(AD\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là góc giữa đường thẳng \(AD\) và hình chiếu của nó trên \(\left( {ABC} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(O\) là trọng tâm \(\Delta BCD \Rightarrow AO \bot \left( {BCD} \right).\)

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC.\)

Kẻ \(DH \bot AM.\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot DM\\BC \bot AO\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {ADM} \right) \Rightarrow BC \bot DH.\)

\( \Rightarrow DH \bot \left( {ABC} \right).\)

\( \Rightarrow AH\) là hình chiếu vuông góc của \(AD\) trên \(\left( {ABC} \right).\)

\( \Rightarrow \alpha  = \angle \left( {AD,\,\,\left( {ABC} \right)} \right) = \angle MAD.\)

Ta có: \(MD = AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)

Áp dụng định lý hàm số \(\cos \) trong \(\Delta AMD\) ta có:

\(\cos \alpha  = \frac{{A{M^2} + A{D^2} - M{D^2}}}{{2AM.AD}}\) \( = \frac{{A{D^2}}}{{2AM.AD}} = \frac{{AD}}{{2AM}}\)\( = \frac{a}{{2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  = 1 - {\cos ^2}\alpha  = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\\ \Rightarrow \sin \alpha  = \frac{{\sqrt 6 }}{3}.\end{array}\)

Chọn  B.