Phương pháp giải:

\({\tan ^2}\frac{x}{2} = \frac{{{{\sin }^2}\frac{x}{2}}}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}\), sử dụng các công thức hạ bậc, sau đó áp dụng quy tắc tính đạo hàm của 1 thương: \(\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{\tan ^2}\frac{x}{2} = \frac{{{{\sin }^2}\frac{x}{2}}}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}}} = \frac{{\frac{{1 - \cos x}}{2}}}{{\frac{{1 + \cos x}}{2}}} = \frac{{1 - \cos x}}{{1 + \cos x}}\\ \Rightarrow y' = \frac{{\left( {1 - \cos x} \right)'\left( {1 + \cos x} \right) - \left( {1 - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right)'}}{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}}\\y' = \frac{{\sin x\left( {1 + \cos x} \right) - \left( {1 - \cos x} \right)\left( { - \sin x} \right)}}{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}y' = \frac{{\sin x + \sin x\cos x + \sin x - \sin x\cos x}}{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}}\\y' = \frac{{2\sin x}}{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}}\\y' = \frac{{4\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}}{{{{\left( {2{{\cos }^2}\frac{x}{2}} \right)}^2}}} = \frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{{{\cos }^3}\frac{x}{2}}}\end{array}\)

Chọn C.