Câu hỏi
Cho \(P = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x - 2}};\,\,\,Q = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{5\sqrt x - 2}}{{x - 4}}\quad \quad \left( {x > 0;\,\,\,x \ne 4} \right)\)
Câu 1: Tính giá trị của \(P\) khi \(x = 9.\)
- A \(10\)
- B \(11\)
- C \(12\)
- D \(13\)
Phương pháp giải:
Với \(x = 9\,\,\left( {tm} \right),\) thay vào biểu thức \(P\) và tính giá trị của biểu thức \(P.\)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \(x > 0,\,\,\,x \ne 4.\)
Ta có: \(x = 9\,\,\left( {tm} \right),\) ta có: \(P = \frac{{9 + 3}}{{\sqrt 9 - 2}} = \frac{{12}}{{3 - 2}} = 12.\)
Vậy với \(x = 9\) thì \(P = 12.\)
Chọn C.
Câu 2: Rút gọn \(Q.\)
- A \(Q = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\)
- B \(Q = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\)
- C \(Q = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}\)
- D \(Q = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}}\)
Phương pháp giải:
Quy đồng mẫu, biến đổi và rút gọn biểu thức.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \(x > 0,\,\,\,x \ne 4.\)
\(\begin{array}{l}Q = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{5\sqrt x - 2}}{{x - 4}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right) + 5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{x - 3\sqrt x + 2 + 5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}.\end{array}\)
Chọn A.
Câu 3: Tìm \(x\) để biểu thức \(\frac{P}{Q}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
- A \(x = 1\)
- B \(x = 2\)
- C \(x = 3\)
- D \(x = 4\)
Phương pháp giải:
Rút gọn biểu thức \(\frac{P}{Q}\) sau đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng bất đẳng thức Cô-si.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \(x > 0,\,\,\,x \ne 4.\)
Ta có: \(\frac{P}{Q} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x - 2}}:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x - 2}}.\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x }} = \sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }}.\)
Với mọi \(x > 0,\,\,x \ne 4\) ta có hai số \(\sqrt x ,\,\,\,\frac{3}{{\sqrt x }}\) là các số dương.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số \(\sqrt x ,\,\,\,\frac{3}{{\sqrt x }}\) ta được:
\(P = \sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\frac{3}{{\sqrt x }}} = 2\sqrt 3 .\)
Dấu ‘‘=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt x = \frac{3}{{\sqrt x }} \Leftrightarrow x = 3\,\,\,\left( {tm} \right).\)
Vậy \(Min\,\,P = 2\sqrt 3 \) khi \(x = 3.\)
Chọn C.
Câu hỏi trước
