Phương pháp giải:

Tìm điều kiện xác định sau đó quy đồng, biến đổi và rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ge 0;\,\,\,x \ne 1;\,\,\,x \ne \frac{1}{4}.\)

\(\begin{array}{l}M = \left( {\frac{{2x\sqrt x  + x - \sqrt x }}{{x\sqrt x  - 1}} - \frac{{x + \sqrt x }}{{x - 1}}} \right)\frac{{x - 1}}{{2x + \sqrt x  - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x  - 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\, = \left[ {\frac{{2x\sqrt x  + x - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}} \right].\frac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {2\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x  - 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\, = \left[ {\frac{{2x\sqrt x  + x - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}}} \right].\frac{{\sqrt x  - 1}}{{2\sqrt x  - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x  - 1}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{2x\sqrt x  + x - \sqrt x  - \sqrt x \left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x  - 1}}{{2\sqrt x  - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x  - 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{2x\sqrt x  + x - \sqrt x  - x\sqrt x  - x - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x  - 1}}{{2\sqrt x  - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x  - 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{x\sqrt x  - 2\sqrt x }}{{x + \sqrt x  + 1}}.\frac{1}{{2\sqrt x  - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x  - 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{x\sqrt x  - 2\sqrt x  + \sqrt x \left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {2\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}} = \frac{{x\sqrt x  + x\sqrt x  + x + \sqrt x }}{{\left( {2\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{2x\sqrt x  + x - \sqrt x }}{{\left( {2\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}} = \frac{{2x\sqrt x  + 2x - x - \sqrt x }}{{\left( {2\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{2x\left( {\sqrt x  + 1} \right) - \sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {2\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {2\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {2\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{x + \sqrt x  + 1}} = \frac{{x + \sqrt x }}{{x + \sqrt x  + 1}}.\end{array}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Biến đổi biểu thức sau đó áp dụng bất đẳng thức Cô-si để làm bài.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ge 0;\,\,\,x \ne 1;\,\,\,x \ne \frac{1}{4}.\)

Ta có: \(P = \frac{{x + \sqrt x }}{{x + \sqrt x  + 1}}\)

Với mọi \(x \ge 0\) ta có: \(x \ge 0;\,\,\,\sqrt x  \ge 0 \Rightarrow x + \sqrt x  \ge 0 \Rightarrow P \ge 0.\)

Dấu ‘‘=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow x = 0.\)

Vậy \(Min\,\,P = 0\,\) khi  \(x = 0.\)

Chọn A.