Câu hỏi
Cho biểu thức: \(A = \left( {\frac{1}{{x + \sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x + 1}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{x + 2\sqrt x + 1}},\) với \(x > 0.\)
Câu 1: Rút gọn biểu thức: \(A.\)
- A \(A = \frac{{1 - x}}{x}\)
- B \(A = 1 - \sqrt x \)
- C \(A = \frac{{1 + \sqrt x }}{x}\)
- D \(A = \frac{{1 - \sqrt x }}{x}\)
Phương pháp giải:
Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi và rút gọn biểu thức.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \(x > 0.\)
\(\begin{array}{l}A = \left( {\frac{1}{{x + \sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x + 1}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{x + 2\sqrt x + 1}} = \left( {\frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{1}{{\sqrt x + 1}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}\\\;\;\; = \frac{{1 - \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x }} = \frac{{\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{x} = \frac{{1 - x}}{x}.\end{array}\)
Chọn A.
Câu 2: Tìm các giá trị của \(x\) để \(A > \frac{1}{2}.\)
- A \(x > 0\)
- B \(0 < x < 1\)
- C \(0 < x < \frac{2}{3}\)
- D \(x > \frac{2}{3}\)
Phương pháp giải:
Dựa vào kết quả rút gọn biểu thức ở câu a), giải bất phương trình \(A > \frac{1}{2}.\) Đối chiếu với điều kiện và kết luận nghiệm \(x.\)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \(x > 0.\)
Ta có: \(A > \frac{1}{2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{1 - x}}{x} > \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{1 - x}}{x} - \frac{1}{2} > 0\\ \Leftrightarrow \frac{{2 - 2x - x}}{{2x}} > 0\\ \Leftrightarrow 2 - 3x > 0\;\;\;\left( {do\;\;2x > 0\;\;\forall x > 0} \right)\\ \Leftrightarrow x < \frac{2}{3}.\end{array}\)
Vậy với \(0 < x < \frac{2}{3}\) thì \(A > \frac{1}{2}.\)
Chọn C.
Câu hỏi trước
