Phương pháp giải:

Góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là góc giữa \(d\) và \(d'\) với \(d'\) là hình chiếu của \(d\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\)

Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn để suy ra số đo góc.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(SA\)  vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)

\( \Rightarrow \)\(A\)  là hình chiếu của \(S\)  lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)

\( \Rightarrow \)\(AC\)  là hình chiếu của \(SC\)  lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)

Từ đó góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(\widehat {SCA}\)

Vì \(\Delta ABC\) vuông tại B \( \Rightarrow A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {a^2} + 3{a^2} = 4{a^2}\)\( \Rightarrow AC = 2a\)

Xét tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\) có \(\tan \widehat {SCA} = \dfrac{{SA}}{{AC}} = \dfrac{{2a}}{{2a}} = 1 \Rightarrow \widehat {SCA} = {45^o}\).

Vậy góc cần tìm bằng \(45^\circ .\)

Chọn D.