Phương pháp giải:

+) Chuyển vế, sử dụng công thức \(\cos 2A+1=2{{\cos }^{2}}A,\,\,\cos 2B+\cos 2C=2\cos \left( B+C \right)\cos \left( B-C \right)\).

+) Sử dụng tính chất: \(\cos A=-\cos \left( \pi -A \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C =  - 1\\ \Leftrightarrow \cos 2A + 1 + 2\cos \left( {B + C} \right)\cos \left( {B - C} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}A + 2\cos \left( {\pi  - A} \right)\cos \left( {B - C} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}A - 2\cos A\cos \left( {B - C} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2\cos A\left[ {\cos A - \cos \left( {B - C} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos A = 0\\\cos A = \cos \left( {B + C} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = {90^0}\\A = B + C\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = {90^0}\\A = B + C = {90^0}\end{array} \right. \Leftrightarrow A = {90^0}\end{array}\)

Vậy tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).

Chọn A.