Cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng phương pháp toạ độ - Toán 12

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình:

(P): Ax + By + Cz + D = 0, \({A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\).

(Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0, \(A{'^2} + B{'^2} + C{'^2} \ne 0\).

(P) và (Q) song song khi \(\frac{A}{{A'}} = \frac{B}{{B'}} = \frac{C}{{C'}} \ne \frac{D}{{D'}}\).

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng song song với nhau:

(P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0.

Để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng trên, ta thực hiện:

Bước 1: Tìm một điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) thuộc (P), bằng cách:

- Chọn giá trị \({x_0}\), \({y_0}\) bất kì (nên chọn các giá trị dễ tính toán như 0; 1;..).

- Thay \({x_0}\), \({y_0}\) vào phương trình của (P), giải phương trình tìm \({z_0}\).

- Kết luận điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\).

Bước 2: Tính khoảng cách từ \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến (Q) theo công thức:

\(d\left( {M,(P)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

* Lưu ý: Ở B1, có thể chọn giá trị \({x_0}\), \({z_0}\) để tìm \({y_0}\); hoặc chọn \({y_0}\), \({z_0}\) rồi tìm \({x_0}\).

Ví dụ minh hoạ:

1) Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – y – 2z – 9 = 0 và (Q): 4x – 2y – 4z – 6 = 0. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Giải:

Vì \(\frac{2}{4} = \frac{{ - 1}}{{ - 2}} = \frac{{ - 2}}{{ - 4}} \ne \frac{{ - 9}}{{ - 6}}\) nên (P) // (Q).

Xét phương trình của (P): 2x – y – 2z – 9 = 0 , cho x = z = 0, ta tính được y = -9.

Vậy M(0; -9; 0) là một điểm thuộc (P).

Ta có \(d\left( {(P),(Q)} \right) = d\left( {M,(Q)} \right) = \frac{{\left| { - 2.( - 9) - 6} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 4)}^2}} }} = 2\).

2) Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \((P): 3x - y + 2z - 5 = 0\) và \((Q): 6x - 2y + 4z - 3 = 0\). Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Giải:

Vì \(\frac{3}{6} = \frac{-1}{-2} = \frac{2}{4} \ne \frac{-5}{-3}\) nên (P) // (Q).

Xét phương trình của \((P): 3x - y + 2z - 5 = 0\), cho \(y = 0, z = 0\), ta có \(3x - 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{3}\).

Vậy \(M\left(\frac{5}{3}; 0; 0\right)\) là một điểm thuộc (P).

Ta có: \(d\left((P),(Q)\right) = d\left(M,(Q)\right) = \frac{|6\cdot\frac{5}{3} - 3|}{\sqrt{6^2 + (-2)^2 + 4^2}} = \frac{7}{2\sqrt{14}}\).

3) Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \((P): x + 2y - 2z + 7 = 0\) và \((Q): 2x + 4y - 4z + 9 = 0\). Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Giải:

Vì \(\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{-2}{-4} \ne \frac{7}{9}\) nên (P) /// (Q).

Xét phương trình của \((P): x + 2y - 2z + 7 = 0\), cho \(y = 0, z = 0\), ta có \(x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7\).

Vậy M(-7; 0; 0) là một điểm thuộc (P).

Ta có: \(d\left((P),(Q)\right) = d\left(M,(Q)\right) = \frac{|2\cdot(-7) + 9|}{\sqrt{2^2 + 4^2 + (-4)^2}} = \frac{5}{6}\).