Cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) bằng hằng đẳng thức - Toán 8

Biến đổi biểu thức về dạng \({\left( {A \pm B} \right)^2} + m\) hoặc \(m - {\left( {A \pm B} \right)^2}\) với \(m \in \mathbb{R}\).

Khi đó:

+ Vì \({\left( {A \pm B} \right)^2} \ge 0\) nên \({\left( {A \pm B} \right)^2} + m \ge m\). Vậy GTNN của biểu thức là m, dấu bằng xảy ra khi \(A \pm B = 0\).

+ Vì \({\left( {A \pm B} \right)^2} \ge 0\) nên \(m - {\left( {A \pm B} \right)^2} \le m\). Vậy GTNN của biểu thức là m, dấu bằng xảy ra khi \(A \pm B = 0\).

Ví dụ:

a) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(A = {x^2} - 2x + 3 = 0\)

\(\begin{array}{l}A = {x^2} - 2x + 3\\ = \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 2\\ = {\left( {x - 1} \right)^2} + 2\end{array}\)

Vì \({\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\) nên \({\left( {x - 1} \right)^2} + 2 \ge 2\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2, dấu bằng xảy ra khi \(x - 1 = 0\) hay \(x = 1\).

b) Tính giá trị lớn nhất của biểu thức \(B =  - {x^2} + x\).

\(\begin{array}{l}B =  - {x^2} + x\\ =  - {x^2} + 2.x.\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\\ =  - \left( {{x^2} - 2.x.\frac{1}{2} + \frac{1}{4}} \right) + \frac{1}{4}\\ =  - {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{4}\end{array}\)

Vì \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\) nên \( - {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} \le 0\),

do đó \( - {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{4} \le \frac{1}{4}\).

Vậy giá trị lớn nhất của B là \(\frac{1}{4}\), dấu bằng xảy ra khi \(x - \frac{1}{2}\) = 0 hay \(x = \frac{1}{2}\).

\({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)

Ví dụ: \({101^2} = {(100 + 1)^2} = {100^2} + 2.100.1 + {1^2} = 10201\)

\({x^2} + 4xy + 4{y^2} = {x^2} + 2.x.2y + {(2y)^2} = {(x + 2y)^2}\)

\({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)

Ví dụ: \({99^2} = {(100 - 1)^2} = {100^2} - 2.100.1 + {1^2} = 9801\)

\({(3x - 2y)^2} = {(3x)^2} - 2.3x.2y + {(2y)^2} = 9{x^2} - 12xy + 4{y^2}\)