Đề bài

Cho hai điểm A(1; 3; 0) và B(5; 1; −2). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là

A. \(2x - y - z + 5 = 0\)

B. \(2x - y - z - 5 = 0\)

C. \(x + y + z - 3 = 0\)

D. \(3x + 2y - z - 4 = 0\)

Phương pháp giải

Phương trình mặt phẳng có dạng:

\({n_1}(x - {x_0}) + {n_2}(y - {y_0}) + {n_3}(z - {z_0}) = 0\)

trong đó \(({x_0},{y_0},{z_0})\) là tọa độ của một điểm trong mặt phẳng và \(({n_1},{n_2},{n_3})\) là tọa độ của véc-tơ pháp tuyến.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Trung điểm M của đoạn AB có tọa độ:

\(M\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right) = \left( {\frac{{1 + 5}}{2};\frac{{3 + 1}}{2};\frac{{0 - 2}}{2}} \right) = \left( {3;2; - 1} \right)\)

Véc-tơ \(\overrightarrow {AB} \) có tọa độ:

\(\overrightarrow {AB}  = ({x_B} - {x_A},{y_B} - {y_A},{z_B} - {z_A}) = (5 - 1;1 - 3; - 2 - 0) = (4; - 2; - 2)\)

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là mặt phẳng vuông góc với đoạn AB. Do đó, véc-tơ \(\overrightarrow {AB} \) cũng là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực. Vậy, véc-tơ pháp tuyến \(\vec n\) của mặt phẳng trung trực là:

\(\vec n = (4, - 2, - 2)\)

Gọi phương trình mặt phẳng trung trực là \(4x - 2y - 2z + D = 0\). Vì mặt phẳng này đi qua trung điểm \(M(3,2, - 1)\), nên tọa độ của M phải thỏa mãn phương trình mặt phẳng này:

\(4 \cdot 3 - 2 \cdot 2 - 2 \cdot ( - 1) + D = 0\)

\(12 - 4 + 2 + D = 0\)

\(10 + D = 0 \Rightarrow D =  - 10\)

Vậy, phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là:

\(4x - 2y - 2z - 10 = 0\)

\(2x - y - z - 5 = 0\)

Chọn B

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x + 2 = 0\).

a) Điểm \(A\left( { - 2;1;0} \right)\) có thuộc \(\left( \alpha  \right)\) hay không?

b) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha  \right)\).

 
Xem lời giải >>
Bài 2 :

Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình tổng quát của một mặt phẳng?

a) \({x^2} + 2{y^2} + 3{z^2} - 1 = 0\);

b) \(\frac{x}{2} - y + \frac{z}{3} + 5 = 0\);

c) \(xy + 5 = 0\).

 
Xem lời giải >>
Bài 3 :

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {A;B;C} \right)\).

Dựa vào HĐ4, hãy nêu phương trình của \(\left( \alpha  \right)\).

 
Xem lời giải >>
Bài 4 :

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y - 3z + 1 = 0\). Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) có tọa độ là

A. \(\left( {1;2;3} \right)\).

B. \(\left( {1; - 2;3} \right)\).

C. \(\left( {1;2; - 3} \right)\).

D. \(\left( {1; - 2; - 3} \right)\).

Xem lời giải >>
Bài 5 :

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 2 + t\\z = 4 - 2t\end{array} \right.\). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và gốc tọa độ O.

Xem lời giải >>
Bài 6 :

Trong không gian Oxyz, cho điểm \(M\left( {2; - 1;3} \right)\). Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên Ox, Oy, Oz. Phương trình mặt phẳng (ABC) là

A. \(3x - 6y + 2z + 6 = 0\).

B. \(3x - 6y + 2z + 6 = 0\).

C. \(3x - 2y + 2z - 1 = 0\).

D. \(3x - 6y + 2z - 1 = 0\).

 
Xem lời giải >>
Bài 7 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;-1;2) và có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = (1;2;3)\)

Giả sử M(x;y;z) là một điểm tùy ý thuộc mặt phẳng (P) (Hình 7)

a) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow n .\overrightarrow {AM} \) theo x, y, z

b) Tọa độ (x;y;z) của điểm M có thỏa mãn phương trình: x + 2y + 3z – 5 = 0 hay không?

Xem lời giải >>
Bài 8 :

Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng?

A. \( - {x^2} + 2y + 3z + 4 = 0\)

B. \(2x - {y^2} + z + 5 = 0\)

C. \(x + y - {z^2} + 6 = 0\)

D. \(3x - 4y - 5z + 1 = 0\)

Xem lời giải >>
Bài 9 :

Mặt phẳng (P): \(3x - 4y + 5z - 6 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là:

A. \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {3;4;5} \right)\).

B. \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {3; - 4;5} \right)\).

C. \(\overrightarrow {{n_3}}  = \left( { - 3;4;5} \right)\).

D. \(\overrightarrow {{n_4}}  = \left( {3;4; - 5} \right)\).

Xem lời giải >>
Bài 10 :

Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng?

A. \(x - {y^2} - 2 = 0\).

B. \(x + {z^2} - 3 = 0\).

C. \(x - z - 4 = 0\).

D. \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 1 = 0\).

Xem lời giải >>
Bài 11 :

Trong không gian Oxyz, cho điểm \(H\left( {3;2;4} \right)\).

a) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa điểm H và trục Oy.

b) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua điểm H và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C (với A, B, C đều không trùng với gốc tọa độ O) sao cho H là trực tâm tam giác ABC.

Xem lời giải >>
Bài 12 :

Cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + z - 5 = 0\). Điểm nào dưới đây thuộc \(\left( P \right)\)?

A. \(M\left( {1;1;6} \right)\).

B. \(N\left( { - 5;0;0} \right)\).

C. \(P\left( {0,0, - 5} \right)\).

D. \(Q\left( {2; - 1;5} \right)\).

Xem lời giải >>
Bài 13 :

Tứ diện ABCD có các đỉnh \((A(5;1;3),B(1;6;2),C(5;0;4),D(4;0;6)\).

a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng \((ACD)\) và \((BCD)\).

b) Hãy viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) chứa cạnh AB và song song với cạnh CD.

Xem lời giải >>
Bài 14 :

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P): x – 3z + 2 = 0 đi qua điểm nào sau đây?

Xem lời giải >>
Bài 15 :

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + 4y – z = 3. Vecto nào sau đây là vecto pháp tuyến của (P)?

Xem lời giải >>