Trong không gian Oxyz, cho điểm \(H\left( {3;2;4} \right)\).
a) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa điểm H và trục Oy.
b) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua điểm H và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C (với A, B, C đều không trùng với gốc tọa độ O) sao cho H là trực tâm tam giác ABC.
Ý a: Chọn một điểm A bất kì thuộc Oy, khi đó ta có \(\left( P \right)\) đi qua A. Tích có hướng của \(\overrightarrow {AH} \)
và \(\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\).
Ý b: Chứng minh H là hình chiếu của O trên (ABC), mặt phẳng cần tìm đi qua H và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {OH} \).
a) Ta lấy \(O\left( {0;0;0} \right) \in Oy\) suy ra \(O \in \left( P \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {OH} = \left( {3;2;4} \right)\).
Do \(\left( P \right)\) chứa O, H và Oy suy ra \(\left( P \right)\) nhận \(\left[ {\overrightarrow {OH} ,\overrightarrow j } \right]\) làm vectơ pháp tuyến, vì \(\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)\) là vectơ chỉ phương của Oy. Ta có \(\left[ {\overrightarrow {OH} ,\overrightarrow j } \right] = \left( { - 4;0;3} \right)\).
Phương trình mặt phẳng của \(\left( P \right)\) là \( - 4\left( {x - 0} \right) + 0\left( {y - 0} \right) + 3\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow - 4x + 3z = 0\).
b) Giả sử \(D,E\) lần lượt là hình chiếu của \(A,B\) trên cạnh \(BC\) và \(AC\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AD \bot BC\\BE \bot AC\\AD \cap BE = H\end{array} \right.\).
Do \(Ox \bot \left( {yOz} \right)\) nên \(AO \bot \left( {OBC} \right)\). Khi đó có \(OD\) là hình chiếu của \(AD\) trên \(\left( {OBC} \right)\),
mà \(AD \bot BC\) suy ra \(OD \bot BC\)(định lý ba đường vuông góc).
Vì vậy \(BC \bot \left( {OAD} \right)\). Mặt khác \(OH \subset \left( {OAD} \right)\) nên \(BC \bot OH{\rm{ }}\left( 1 \right)\).
Chứng minh tương tự ta có \(OE\) là hình chiếu của \(BE\) trên \(\left( {OAC} \right)\) suy ra \(AC \bot OH{\rm{ }}\left( 2 \right)\).
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(OH \bot \left( {ABC} \right)\) hay H là hình chiếu của O trên (ABC).
\(\left( Q \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {OH} = \left( {3;2;4} \right)\).
Phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) là \(3\left( {x - 3} \right) + 2\left( {y - 2} \right) + 4\left( {z - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 2y + 4z - 29 = 0\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + 2 = 0\).
a) Điểm \(A\left( { - 2;1;0} \right)\) có thuộc \(\left( \alpha \right)\) hay không?
b) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\).
Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình tổng quát của một mặt phẳng?
a) \({x^2} + 2{y^2} + 3{z^2} - 1 = 0\);
b) \(\frac{x}{2} - y + \frac{z}{3} + 5 = 0\);
c) \(xy + 5 = 0\).
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\).
Dựa vào HĐ4, hãy nêu phương trình của \(\left( \alpha \right)\).
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y - 3z + 1 = 0\). Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) có tọa độ là
A. \(\left( {1;2;3} \right)\).
B. \(\left( {1; - 2;3} \right)\).
C. \(\left( {1;2; - 3} \right)\).
D. \(\left( {1; - 2; - 3} \right)\).
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 2 + t\\z = 4 - 2t\end{array} \right.\). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và gốc tọa độ O.
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(M\left( {2; - 1;3} \right)\). Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên Ox, Oy, Oz. Phương trình mặt phẳng (ABC) là
A. \(3x - 6y + 2z + 6 = 0\).
B. \(3x - 6y + 2z + 6 = 0\).
C. \(3x - 2y + 2z - 1 = 0\).
D. \(3x - 6y + 2z - 1 = 0\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;-1;2) và có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n = (1;2;3)\)
Giả sử M(x;y;z) là một điểm tùy ý thuộc mặt phẳng (P) (Hình 7)
a) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow n .\overrightarrow {AM} \) theo x, y, z
b) Tọa độ (x;y;z) của điểm M có thỏa mãn phương trình: x + 2y + 3z – 5 = 0 hay không?
Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng?
A. \( - {x^2} + 2y + 3z + 4 = 0\)
B. \(2x - {y^2} + z + 5 = 0\)
C. \(x + y - {z^2} + 6 = 0\)
D. \(3x - 4y - 5z + 1 = 0\)
Mặt phẳng (P): \(3x - 4y + 5z - 6 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là:
A. \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3;4;5} \right)\).
B. \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3; - 4;5} \right)\).
C. \(\overrightarrow {{n_3}} = \left( { - 3;4;5} \right)\).
D. \(\overrightarrow {{n_4}} = \left( {3;4; - 5} \right)\).
Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng?
A. \(x - {y^2} - 2 = 0\).
B. \(x + {z^2} - 3 = 0\).
C. \(x - z - 4 = 0\).
D. \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 1 = 0\).
Cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + z - 5 = 0\). Điểm nào dưới đây thuộc \(\left( P \right)\)?
A. \(M\left( {1;1;6} \right)\).
B. \(N\left( { - 5;0;0} \right)\).
C. \(P\left( {0,0, - 5} \right)\).
D. \(Q\left( {2; - 1;5} \right)\).
Tứ diện ABCD có các đỉnh \((A(5;1;3),B(1;6;2),C(5;0;4),D(4;0;6)\).
a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng \((ACD)\) và \((BCD)\).
b) Hãy viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa cạnh AB và song song với cạnh CD.
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P): x – 3z + 2 = 0 đi qua điểm nào sau đây?
Cho hai điểm A(1; 3; 0) và B(5; 1; −2). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là
A. \(2x - y - z + 5 = 0\)
B. \(2x - y - z - 5 = 0\)
C. \(x + y + z - 3 = 0\)
D. \(3x + 2y - z - 4 = 0\)
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + 4y – z = 3. Vecto nào sau đây là vecto pháp tuyến của (P)?
